Question

6．如图所示，一质量3m的小车静止在光滑的水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，BC段是长为l的粗糙水平轨道，两段轨道相切于B点，水平轨道离地的高度为h，一质量为m的滑块在小车上从A点由静止开始沿轨道滑下，已知滑块与水平轨道间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，
（1）若固定小车，求滑块脱离水平轨道后落地时水平轨道末端的水平距离x
（2）若不固定小车，滑块在小车上运动时，滑块相对地面速度的水平分量始终是小车速度大小的3倍，求滑块脱离水平轨道后落地时距水平轨道末端的水平距离x′．

Answer 1

分析 （1）滑块从A到B过程中根据动能定理求的到达B点的速度，从B到C由动能定理求的C点的速度，根据平抛运动求的水平位移
（2）从A到C的过程中根据能量守恒求的AB的速度，根据平抛运动的特点求的水平位移

解答 解：（1）固定销车，从A到B根据动能定理可得
$mgR=\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}-0$
在水平轨道上由动能定理可得$-μmgl=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$
从C点做平抛运动，h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=v_Ct
联立解得x=$2\sqrt{h（R-μl）}$
（2）不固定小车，设滑块到C处时小车的速度为v，滑块的速度为3v，根据能量守恒由
$mgR=\frac{1}{2}m（3v）^{2}+\frac{1}{2}•3m{v}^{2}+μmgl$
从C点做平抛运动，h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x′=（v+3v）t
联立解得$x′=4\sqrt{\frac{（R-μl）h}{3}}$
答：（1）若固定小车，滑块脱离水平轨道后落地时水平轨道末端的水平距离x为$2\sqrt{h（R-μl）}$
（2）滑块脱离水平轨道后落地时距水平轨道末端的水平距离x′为$4\sqrt{\frac{（R-μl）h}{3}}$．

点评 主要考查动能定理和能量守恒的问题，求解两物体间的相对位移，根据平抛运动的特点求解，特别在第二问中抓住相对速度求解即可