Question

6．阅读以下信息：
①2013年12月2日1时30分，“嫦娥三号”在西昌卫星发射中心发射，经过19分钟的飞行后，火箭把“嫦娥三号”送入近地点高度210千米、远地点高度约36.8万千米的地月转移轨道．“嫦娥三号”奔月的近似轨迹如图所示．
②经过地月转移轨道上的长途飞行后，“嫦娥三号”在距月面高度约100千米处成功变轨，进入环月圆轨道．在该轨道上运行了约4天后，再次成功变轨，进入近月点高度15千米、远月点高度100千米的椭圆轨道．
③2013年12月14日晚21时，随着首次应用于中国航天器的空间变推力发动机开机，沿椭圆轨道通过近月点的“嫦娥三号”从每秒钟1.7千米的速度实施动力下降．
④2013年12月14日21时11分，“嫦娥三号”成功实施软着陆．
⑤开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=k，k是一个对所有行星都相同的常量．该定律适用于一切具有中心天体的引力系统．
⑥月球的质量M=7.35×10²²kg，半径R=1.74×10³km；月球绕地球运行的轨道半长轴a₀=3.82×10⁵km，月球绕地球运动的周期T₀=27.3d（d表示天）；质量为m的物体在距离月球球心r处具有的引力势能E_P=-G$\frac{Mm}{r}$，引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²；地球的半径R₀=6.37×10³km．
根据以上信息，请估算：
（1）“嫦娥三号”在100km环月圆轨道上运行时的速率v；
（2）“嫦娥三号”在椭圆轨道上通过远月点时的速率v_远；
（3）“嫦娥三号”沿地月转移轨道运行的时间t．

Answer 1

分析 （1）万有引力提供嫦娥三号圆周运动的向心力，据此求得嫦娥三号的运行速率；
（2）嫦娥三号在椭圆轨道上运行时只有引力对其做功，满足机械能守恒，根据机械能守由近月点速度和势能表达式求得远月点的速度；
（3）根据开普勒行星运动定律由月球半长轴和周期及地月转移轨道的半长轴求得在地月转移轨道上的周期，而沿地月转移轨道上运动半个周期，据此求得运行时间．

解答 解：（1）据万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{（R+h）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$
得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$=$\sqrt{\frac{6.67×1{0}^{-11}×7.35×1{0}^{22}}{1.74×1{0}^{6}+100×1{0}^{3}}}m/s$=1.63×10³m/s=1.63km/s
（2）嫦娥三号在椭圆轨道上运动时只受月球引力作用满足机械能守恒，由题意知嫦娥三号在近月点的速度v_近=1.7km/s=1700m/s
根据机械能守恒有：$\frac{1}{2}m{v}_{近}^{2}+（-G\frac{Mm}{{r}_{近}}）=\frac{1}{2}m{v}_{远}^{2}+（-\frac{GMm}{{r}_{远}}）$
代入数据解得：v_远=1600m/s=1.6km/s
（3）由题意知，地月转移轨道的半长轴为：R=$\frac{210+36.8×1{0}^{4}}{2}km=184105km$
嫦娥三号在地月转移轨道上运运动半个周期到达月球，根据开普勒行星运动定律有：
$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}=\frac{{a}_{0}^{3}}{{T}_{0}^{2}}$
得：$T=\sqrt{（\frac{R}{{a}_{0}}）^{3}}{T}_{0}$=${\sqrt{（\frac{184105}{3.82×1{0}^{5}}）}}^{3}×27.3d$≈9.6d
故嫦娥三号运动$\frac{1}{2}T$，即运动时间为：t=$\frac{1}{2}T$=4.8d
答：（1）“嫦娥三号”在100km环月圆轨道上运行时的速率v为1.63km/s；
（2）“嫦娥三号”在椭圆轨道上通过远月点时的速率v_远为1.6km/s；
（3）“嫦娥三号”沿地月转移轨道运行的时间t为4.8天．

点评 解决本题的关键是有效的抓取题目中给出的有效信息，能根据物理模型找出解决问题的思路，从能量解度、开普勒行星运动定律和万有引力定律提供圆周运动向心力展开讨论即可．