Question

1．在一个半径为R的星球表面，离地h处无初速释放一小球，不计阻力，小球落地时速度为v．已知引力常量G，求：
（1）这颗星球表面的重力加速度；
（2）这颗星球的质量；
（3）若星球的自转周期为T，求这颗星球同步卫星的高度．

Answer 1

分析 根据自由落体运动规律求出星球表面的重力加速度，利用重力等于万有引力求出星球质量．根据万有引力提供向心力求解星球的同步卫星的高度

解答 解：（1）根据自由落体运动的规律有：${v}_{\;}^{2}=2gh$
解得：$g=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2h}$
（2）根据星球表面物体重力等于万有引力有：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{{v}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2Gh}$
（3）根据万有引力提供向心力有：
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
$h=\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}-R$
将M代入得：$h=\root{3}{\frac{{v}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{8{π}_{\;}^{2}hG}}-R$
答：（1）这颗星球表面的重力加速度$\frac{{v}_{\;}^{2}}{2h}$；
（2）这颗星球的质量$\frac{{v}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2Gh}$；
（3）若星球的自转周期为T，求这颗星球同步卫星的高度$\root{3}{\frac{{v}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{8{π}_{\;}^{2}hG}}-R$

点评 解决本题的基本思路万有引力提供向心力，在星球表面任意物体的重力等于该星球对物体的万有引力．