Question

14．如图所示，倾角为37°的部分粗糙的斜面轨道和两个光滑半圆轨道组成翘尾巴的S形轨道．两个光滑半圆轨道半径都为R=0.2m，其连接处CD之间留有很小的空隙，刚好能够使小球通过，CD之间距离可忽略．斜面上端有一弹簧，弹簧上端固定在斜面上的挡板上，弹簧下端与一个可视为质点、质量为m=0.02kg的小球接触但不固定，此时弹簧处于压缩状态并锁定，弹簧的弹性势能E_p=0.27J，现解除弹簧的锁定，小球从A点出发，经翘尾巴的S形轨道运动后从E点水平飞出，落到水平地面上，落点到与E点同一竖直线上B点的距离s=2.0m．已知斜面轨道的A点与水平面B点之间的高度为h=1.0m，小球与斜面的粗糙部分间的动摩擦因数为0.75，小球从斜面到达半圆轨道通过B点时，前后速度大小不变，不计空气阻力，g取10m/s²，求：
（1）小球从E点水平飞出时的速度大小；
（2）小球对B点轨道的压力；
（3）斜面粗糙部分的长度x．

Answer 1

分析 （1）小球从E点飞出做平抛运动，根据高度求出运动的时间，再根据水平位移和时间求出平抛运动的初速度．
（2）在B点，沿半径方向上的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出轨道对球的弹力，从而根据牛顿第三定律求出小球对轨道的压力．
（3）应用动能定理求出斜面粗糙部分的长度x．

解答 解：（1）小球从E点飞出后做平抛运动，
竖直方向：4R=$\frac{1}{2}$gt²，
水平方向：s=v_Et，
代入数据解得：v_E=5m/s；
（2）小球从B点运动到E点的过程，机械能守恒，由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv_B²=$\frac{1}{2}$mv_E²+mg•4R，
在B点，由牛顿第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
代入数据解得：F=4.3N，
由顿第三定律可知，小球对轨道的压力：F′=F=4.3B，方向竖直向下；
（3）从A到B过程，应用动能定理得：
E_p+mgh-μmgcos37•x=$\frac{1}{2}$mv_B²-0，
代入数据解得：x≈0.29m；
答：（1）小球从E点水平飞出时的速度大小为5m/s；
（2）小球对B点轨道的压力为4.3N，方向竖直向下；
（3）斜面粗糙部分的长度x为0.29m．

点评 本题是一道力学综合题，物体运动过程较复杂，分析清楚物体运动过程是正确解题的前提与关键，应用平抛运动规律、机械能守恒定律、牛顿第二定律、动能定理可以解题，本题有一定的难度．