Question

6．如图所示，AOB是由某种透明物质制成的$\frac{1}{4}$圆柱体的横截面（O为圆心），折射率为$\sqrt{2}$．今有一束平行光以45°的入射角射向圆柱体的OA平面，进入柱体的光线中有一部分不能从柱体的AB面上射出．求柱体AB面上能射出光线的区域占AB面的几分之几？

Answer 1

分析 画出光路图，当光线在AB弧面上发生全反射时，光线就不能从AB弧面射出，根据临界角确定出光线在AB弧面上恰好发生全反射时的入射点，由几何知识求解圆柱AB面上能射出光线的面积占AB表面积的几分之几．

解答 解：从O点射入柱体的光线，折射角为r，根据折射定律有：n=$\frac{sin45°}{sinr}$=$\sqrt{2}$…①
解得 r=30°…②
从某位置P点入射柱体的光线，折射到AB弧面上Q点时，入射角恰等于临界角C，有：sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$…③
得：C=45°…④
在△PQO中，α=180°-90°-C-r=15°…⑤
所以能射出的光线区域对应的圆心角 β=90°-α-r=45°…⑥
能射出光线的部分占AB面的比例为 $\frac{45°}{90°}$=$\frac{1}{2}$…⑦
答：圆柱AB面上能射出光线的部分占AB表面的 $\frac{1}{2}$．

点评 本题是折射定律和几何知识、全反射的综合应用，正确地画出光路图是解决本题问题的关键．