Question

4．万有引力和库仑力有类似的规律，有很多可以类比的地方．已知引力常量为G，静电力常量为k．
（1）用定义静电场强度的方法来定义与质量为M的质点相距r处的引力场强度E_G的表达式；
（2）质量为m、电荷量为e的电子在库仑力的作用下以速度v绕原子核做匀速圆周运动，该模型与太阳系内行星绕太阳运转相似，被称为“行星模型”，如图（1）．已知在一段时间内，电子走过的弧长为s，其速度方向改变的角度为θ（弧度）．不考虑电子之间的相互作用，求出原子核的电荷量Q；
（3）如图（2），用一根长为L的绝缘细线悬挂一个可看成质点的金属小球，质量为m，电荷量为-q．悬点下方固定一个足够大的水平放置的均匀带正电的介质平板．小球在竖直平面内做小角度振动．已知重力加速度为g，不计空气阻力．
a．已知忽略边缘效应的情况下，带电平板所产生的静电场的电场线都垂直于平板，静电场的电场力做功与路径无关．请证明：带电平板所产生的静电场是匀强电场；
b．在上述带电平板附近所产生的静电场场强大小为E，求：金属小球的振动周期．

Answer 1

分析 （1）根据电场强度定义方法，即可求解；
（2）依据牛顿第二定律，结合库仑定律与向心力公式，即可求解；
（3）根据小球静止时绳中的拉力即等于等效重力mg'，从而求得等效重力加速度，再依据振动周期公式，即可求解．

解答 解：（1）根据电场强度的定义式，那么质量为M的质点相距r处的引力强度${E}_{G}^{\;}$的表达式：${E}_{G}^{\;}=\frac{F}{m}=\frac{\frac{GMm}{{r}_{\;}^{2}}}{m}=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$，即${E}_{G}^{\;}=G\frac{M}{{r}_{\;}^{2}}$
（2）根据牛顿第二定律，依据库仑力提供向心力，则有$k\frac{Qe}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
由几何关系，得$R=\frac{s}{θ}$
解得：$Q=\frac{m{v}_{\;}^{2}s}{θke}$
（3）a．反证法
法1：如图，若存在，则可以引入试探电荷+q，让+q从a点沿矩形路线abcda（ab与电场线平行，bc边与电场线垂直）运动一周回到a点．设ab处的场强大小为E₁，cd处的场强大小为E₂，根据功的定义，电场力做的总功W_aa=W_ab+W_bc+W_cd+W_da=qE₁x_ab+W_bc+W_cd+W_da
其中，W_ab=qE₁x_ab，W_cd=-qE₂x_bc=-qE₂x_ab，bc段和da段电场力始终与运动方向垂直，故W_bc=W_da=0，
得W_aa=W_ab+W_bc+W_cd+W_da=qE₁x_ab+0+0-qE₂x_ab=q（E₁-E₂）x_ab＜0
但根据电场力做功的特点，做功与路径无关，故W_aa=0，
上述假设矛盾，故不存在电场线平行但不等间距的静电场．


法2：如图，若存在，则可以引入试探电荷+q，让+q从a点分别沿矩形abcd（ab与电场线平行，bc边与电场线垂直）的abc和adc运动到c点．设ab处的场强大小为E₁，cd处的场强大小为E₂，根据功的定义，路径abc和adc电场力做的功分别为
W_abc=W_ab+W_bc，W_adc=W_cd+W_da
其中，W_ab=qE₁x_ab，W_cd=-qE₂x_bc=-qE₂x_ab，bc段和da段电场力始终与运动方向垂直，故W_bc=W_da=0，
得W_abc=W_ab+W_bc=qE₁x_ab+0，W_adc=W_cd+W_da=0-qE₂x_ab
故W_abc≠W_adc
但根据电场力做功的特点，做功与路径无关，故W_abc=W_adc，
上述假设矛盾，故不存在电场线平行但不等间距的静电场．
b．电场力：${F}_{电}^{\;}=qE$，
等效重力加速度：$g′=\frac{{F}_{电}^{\;}+mg}{m}=\frac{qE+mg}{m}$
小球在库仑力作用下的振动周期：$T=2π\sqrt{\frac{L}{g′}}=2π\sqrt{\frac{Lm}{qE+mg}}$
答：（1）用定义静电场强度的方法来定义与质量为M的质点相距r处的引力场强度E_G的表达式为$\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$；
（2）原子核的电荷量Q为$\frac{m{v}_{\;}^{2}s}{θke}$；
（3）a．证明：带电平板所产生的静电场是匀强电场（上面已证）；
b．金属小球的振动周期$2π\sqrt{\frac{Lm}{qE+mg}}$．

点评 考查电场强度的定义法，掌握牛顿第二定律，库仑定律与万有引力定律的内容，注意等效重力加速度的理解，及振动周期的公式的物理量的含义．