Question

16．如图所示，长度为L的轻质细杆的一端与质量为m的小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动．现在最低点给小球一水平初速度v₀，使它能在竖直平面内做圆周运动．设小球在轨道最低点a和最高点b受到细杆的作用力大小分别为F₁和F₂，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　）

• A． 若v₀＞$\sqrt{5gL}$，则v₀越大，F₁和F₂之差越大
• B． 若v₀＞$\sqrt{5gL}$，F₁和F₂之差为定值，与v₀的大小无关
• C． 若v₀＜$\sqrt{5gL}$，则v₀越小，F₁和F₂之和越小
• D． 若v₀＜$\sqrt{5gL}$，F₁和F₂之和为定值，与v₀的大小无关

Answer 1

分析 先根据动能定理求出小球在最高点速度与初速度的关系，分两种情况判断最高点杆子作用力的方向，再在最高点和最低点分别根据向心力公式列式，联立方程求解即可．

解答 解：从最高点到最低点的过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}=mg•2L$
解得：v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}-4gL}$
A、当v₀＞$\sqrt{5gL}$时，则v$＞\sqrt{gL}$，则在最高点，杆子提供拉力，则有：
mg+${F}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{L}$
解得：${F}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{L}-mg=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}-5mg$
在最低点，则有：${F}_{1}-mg=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$
解得：${F}_{1}=mg+m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$
则F₁-F₂=6mg，为定值，与v₀的大小无关，故A错误，B正确；
C、当v₀＜$\sqrt{5gL}$时，则$v＜\sqrt{gL}$，则杆子提供支持力，在最高点则有：
mg-${F}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{L}$
解得：${F}_{2}=mg-m\frac{{v}^{2}}{L}=5mg-m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$，
在最低点，则有：${F}_{1}-mg=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$
解得：${F}_{1}=mg+m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$
则F₁+F₂=6mg，为定值，与v₀的大小无关，故C错误，D正确；
故选：BD

点评 轻杆的作用力可以提供支持力，也可以提供拉力，要判断是拉力还是支持力，我们要从小球所需要得向心力入手研究，根据需要的向心力的大小和方向确定杆子的作用力．要注意杆与绳子的区别，杆可以是支持力，可以是拉力，而绳子只能为拉力．