Question

3．如图所示，固定在轻质弹簧两端质量分别是m₁=m、m₂=$\frac{3}{4}$m的两个物体置于光滑水平面上，m₁靠在光滑竖直墙上，现有一颗m₃=$\frac{1}{4}$m的子弹水平射入m₂中，使弹簧压缩最短时具有的弹性势能为E，然后m₁和m₂都将向右运动，试求：
（1）子弹入射m₂前的速度；
（2）m₁离开墙后运动过程中弹簧具有的最大弹性势能；
（3）m₁离开墙后运动过程中m₁具有的最大速度．

Answer 1

分析 （1）根据能量守恒求出子弹射入木块2后的速度，结合动量守恒定律求出子弹入射m₂前的速度；
（2）m₁离开墙后，当弹簧伸长到最长时，弹性势能最大，此时两者速度相等，根据动量守恒定律和能量守恒定律求出最大弹性势能；
（3）当弹簧恢复原长时，m₁具有的最大速度．根据动量守恒定律和能量守恒定律求出m₁具有的最大速度．

解答 解：（1）对子弹射入木块后到弹簧压缩量最大的过程中，运用能量守恒得：E=$\frac{1}{2}（{m}_{2}+{m}_{3}）{v}^{2}$，
解得子弹射入木块为：$v=\sqrt{\frac{2E}{{m}_{2}+{m}_{3}}}=\sqrt{\frac{2E}{m}}$，
子弹射入木块的过程中动量守恒，规定子弹初速度的方向为正方向，根据动量守恒守恒得：m₃v₁=（m₂+m₃）v，
解得：${v}_{1}=4\sqrt{\frac{2E}{m}}$．
（2）m₁离开墙后，当弹簧伸长到最长时，弹性势能最大，此时两者速度相等．规定向右为正方向，有：（m₂+m₃）v=（m₁+m₂+m₃）v₂，
解得：${v}_{2}=\frac{v}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2E}{m}}$．
根据能量守恒得，最大弹性势能为：${E}_{p}=\frac{1}{2}（{m}_{2}+{m}_{3}）{v}^{2}-\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}）{{v}_{2}}^{2}$=$\frac{E}{2}$．
（3）当弹簧恢复原长时，m₁具有的最大速度．规定向右为正方向，
根据动量守恒有：（m₁+m₂+m₃）v₂=m₁v₁′+（m₂+m₃）v′，
根据能量守恒有：$\frac{1}{2}（{m}_{2}+{m}_{3}）{v}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}{′}^{2}+$$\frac{1}{2}（{m}_{2}+{m}_{3}）v{′}^{2}$，
联立两式解得：v₁′=v=$\sqrt{\frac{2E}{m}}$．
答：（1）子弹入射m₂前的速度为$4\sqrt{\frac{2E}{m}}$；
（2）m₁离开墙后运动过程中弹簧具有的最大弹性势能为$\frac{E}{2}$；
（3）m₁离开墙后运动过程中m₁具有的最大速度为$\sqrt{\frac{2E}{m}}$．

点评 本题是含有弹簧的类型，对于子弹打击过程，要明确研究对象，确定哪些物体参与作用，运用动量守恒能量守恒进行求解即可．