Question

1．有一内壁光滑的圆管竖直放置，圆管底部封闭，上端开口且足够长，圆管内有两个小球A与B，A的质量为m₁=0.1kg，B的质量为m₂=0.2kg，两小球直径略小于管的直径．某时刻当B球向下运动至离圆管底面高度h=1m处时与向上运动的A球发生弹性碰撞，碰后B球向上运动至最大高度又返回到原来高度h=1m处，再次与已经和底面做完弹性碰撞后反弹 回来的小球A相碰，如此反复，做周期性运动，问要完成这种反复运动小球A与B碰前的速度应是多少？（ g取10m/s²）

Answer 1

分析 小球A和B各自碰前与碰后的速率应相等，对于碰撞过程，运用动量守恒定律得到质量与速度关系．对A、B两球运用运动学位移公式分析运动时间与速度的关系，联立求解即可．

解答 解：设碰时A球与B球的速率分别为v₁与v₂，为完成反复运动，小球A和B各自碰前与碰后的速率应相等，即小球A碰后速度为-v₁，小球B碰后速度为-v₂，
对于碰撞过程，取向下为正方向，则由动量守恒定律有
   m₁v₁-m₂v₂=-m₁v₁+m₂v₂．
得$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$=$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}$
设小球A到达底面所需时间为t，则有 h=v₁t+$\frac{1}{2}g{t}^{2}$ 
小球A往返一次所需时间 t₁=2t=$\frac{2（-{v}_{1}+\sqrt{{v}_{1}^{2}+2gh}）}{g}$
小球B往返一次需时 t₂=$\frac{2{v}_{2}}{g}$
按题意要求有 t₁=t₂   
即-v₁+$\sqrt{{v}_{1}^{2}+2gh}$=$\frac{{m}_{1}{v}_{1}}{{m}_{2}}$
解得：v₁=4m/s，v₂=2m/s  
答：要完成这种反复运动小球A与B碰前的速度应分别是4m/s，2m/s．

点评 分析清楚两球的运动情况，搞清两球运动时间关系、速度关系是解题的关键．同时要知道碰撞的基本规律：动量守恒定律．