Question

无风的情况下，在离地面高为H处，将质量为m的球以速度v₀水平抛出，已知球在空气中运动时所受的阻力f=kv，v是球的速度，k是已知的常数，阻力的方向与速度方向相反，并且球在着地前已经竖直向下做匀速运动，重力加速度为g．
（1）求球刚抛出时加速度大小；
（2）求球从抛出到着地过程中克服空气阻力做的功；
（3）若有一个与上述相同的球从同一地点由静止释放，试比较两球落地所需时间和着地时的速度，并简述理由．

Answer 1

分析：（1）小球刚抛出时的速度为v₀，可以求出小球所受阻力的大小和方向，由于小球只受重力和阻力可以求出小球所受的合力，根据牛顿第二定律可以求出小球的加速度大小；
（2）小球最终竖直方向匀速下落，根据受力平衡可以求出小球所受的阻力，再根据阻力与速度的关系可以求出小球落地速度大小，在小球落地过程中只有重力和阻力做功，已知重力做功的情况下可以求出阻力做功；
（3）根据运动的独立性，平抛的小球在竖直方向的运动与自由落体运动的小球在竖直方向的运动情况相同，从而展开分析即可．

解答：解：（1）小球刚抛出时受到的合力  F=

m2g2+k2 v 2 0

根据牛顿第二定律可得球刚抛出时的加速度大小a=

F

m

=

m2g2+k2 v 2 0

m

（2）球最终竖直向下做匀速直线运动，设此时速度为v，则mg=kv
设球从抛出到着地过程中克服空气阻力做的功为W，由动能定理有mgH-W=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

解得  W=mgH+

1

2

m

v

2 0

-

m3g2

2k2

（3）根据运动的独立性，在竖直方向都是从静止开始的运动，受到的合力均为F_y=mg-kv_y，加速度均为ay=g-

kvy

m

，故在竖直方向上的运动的情况是相同的，运动时间相等，着地时速度都是v=

mg

k

．
答：（1）小球刚抛出时的加速度大小为

m2g2+k2 v 2 0

m

；
（2）小球克服空气阻力做功W=mgH+

1

2

m

v

2 0

-

m3g2

2k2

；
（3）小球运动时间相同，落地速度亦相同．

点评：掌握矢量合成的平行四边形定则和分运动的独立性是解决本题的关键．