Question

5．如图电场E，θ=45°，磁场B向外，质量m，带电+q的粒子，不计重力，从P点由静止释放，P点到O点距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$h，求粒子第二次过x轴时的横坐标x的值，及第三次到x轴所需时间．

Answer 1

分析 （1）电场力对带电粒子做功，W=qEd，$d=\sqrt{2}y$，带电粒子在磁场中运动的轨迹是$\frac{1}{4}$圆，$△x=\sqrt{2}r$；注意几何关系的正确应用．
（2）带电粒子第二次进入电场后，沿速度的方向与垂直于速度的方向建立坐标系，带电粒子做类平抛运动．根据各段过程用时求得总时间．

解答 解：（1）由几何关系可知，粒子在电场中运动的位移
d=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{sin45°}$h=1h；
电场力对带电粒子做功等于粒子动能的变化，即：
$qEd=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
得v₀=$\sqrt{\frac{2Eqh}{m}}$
带电粒子在磁场中运动的轨迹是$\frac{1}{4}$圆，如图，$△x=\sqrt{2}r$；

洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，则：$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
得：$△x=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$=$\frac{2\sqrt{mEqh}}{Bq}$；
所以：x₂=x₁+△x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$h+$\frac{2\sqrt{mEqh}}{Bq}$
（3）带电粒子第一次在电场中时：$d=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=\frac{qE}{2m}•{t}_{1}^{2}$
解得：${t}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{qE}$；
带电粒子在磁场中运动的周期：2πr=v•T，
运动的时间：${t}_{2}=\frac{T}{4}=\frac{πm}{2qB}$
带电粒子第二次进入电场后，沿速度的方向与垂直于速度的方向建立坐标系x′y′，带电粒子做类平抛运动如图．
则：x′=v₀t₃；$y′=\frac{1}{2}a{t}_{3}^{2}=\frac{qE}{2m}•{t}_{3}^{2}$；
又：x′=y′；
解得：${t}_{3}=\frac{2m{v}_{0}}{qE}$
粒子从P点释放到第三次到达x轴所用的时间：$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=\frac{3m{v}_{0}}{qE}+\frac{πm}{2qB}$=$\frac{3\sqrt{2Emqh}}{Eq}$+$\frac{πm}{2qB}$
答：（1）粒子第二次经过x轴时的横坐标x的值$\frac{\sqrt{2}}{2}$h+$\frac{2\sqrt{mEqh}}{Bq}$；
（2）粒子从P点释放到第三次到达x轴所用的时间：$\frac{3\sqrt{2Emqh}}{Eq}$+$\frac{πm}{2qB}$．

点评 带电粒子的运动分别是匀加速直线运动、匀速圆周运动和类平抛运动，带电粒子第二次进入电场后，沿速度的方向与垂直于速度的方向建立坐标系x′y′来分析粒子的运动是解决该题的关键，要求有较强的分析问题的能力和知识的迁移能力．属于比较难的题目．