Question

1．质量为m的机车头拖着质量均为m的n节车厢在平直轨道上以速度v匀速行驶，行驶中后面有一节车厢脱落，待脱落车厢停止运动时后面又有一节车厢脱落，各节车厢按此方式依次脱落，整个过程中机车头的牵引力保持不变，求：全部车厢脱落并停止运动时机车头的速度大小为多少？

Answer 1

分析 最后面一节车厢脱落后，根据牛顿第二定律求解机车头和剩下的车厢的加速度．
根据速度公式求出最后面一节车厢从脱落到停止运动的时间，再求解机车头和剩下的车厢的速度．
采用同样的方法求出第二节车厢脱离、第三节车厢脱离…等等停止运动时，机车头和剩下的车厢的速度，总结规律，得出全部车厢脱落并停止运动时，机车头的速度．

解答 解：设车头和车厢受到的摩擦力均为f，则匀速运动时的牵引力：F=（n+1）f，
最后面一节车厢脱落后，根据牛顿第二定律得机车头和剩下的车厢的加速度为：a₁=$\frac{F-nf}{nm}$
联立得：a₁=$\frac{f}{nm}$
最后面一节车厢脱落后，加速度大小为：a′=$\frac{f}{m}$
最后面一节车厢从脱落到停止运动的时间为：t₁=$\frac{v}{a′}$=$\frac{mv}{f}$，
则当它停止运动时，机车头和剩下的车厢的速度为：v₁=v+a₁t₁=v+$\frac{f}{nm}•\frac{mv}{f}$=$\frac{1+n}{n}v$
同理第二节车厢脱离后有：
v₂=v₁+a₂t₂=${v}_{1}+\frac{2f}{（n-1）m}$$•\frac{m{v}_{1}}{f}$=$\frac{（1+n）{v}_{1}}{n-1}$=$\frac{（1+n）^{2}v}{n（n-1）}$
第三节车厢脱离：
v₃=v₂+a₃t₃=${v}_{2}+\frac{3f}{（n-2）m}$$•\frac{m{v}_{2}}{f}$=$\frac{（1+n）{v}_{2}}{n-2}$=$\frac{（1+n）^{3}v}{n（n-1）（n-2）}$
…
根据数学归纳法，可得：v_n=$\frac{（1+n）^{n}}{n（n-1）（n-2）…2•1}$=$\frac{（1+n）^{n}v}{n!}$
答：全部车厢脱落并停止运动时，机车头的速度是$\frac{（1+n）^{n}v}{n!}$．

点评 本题物理原理比较简单，关键在于运用数学归纳法寻找规律，考查运用数学知识处理物理问题的能力．