Question

17．如图所示，在直角坐标系xoy的第二象限存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度的大小为E₁，在y轴的左侧存在垂直于纸面的匀强磁场．现有一质量为m，带电量为-q的带电粒子从第二象限的A点（-3L，L）以初速度v₀沿x轴正方向射入后刚好做匀速直线运动，不计带电粒子的重力．
（1）求匀强磁场的大小和方向；
（2）撤去第二象限的匀强磁场，同时调节电场强度的大小为E₂，使带电粒子刚好从B点（-L，0）进入第三象限，求电场强度E₂的大小；
（3）带电粒子从B点穿出后，从y轴上的C点进入第四象限，若E_l=2E₂，求C点离坐标原点O的距离．

Answer 1

分析 （1）粒子做匀速直线运动，电场力与洛伦兹力平衡，根据平衡条件列式求解匀强磁场磁感应强度的大小，根据左手定则判断磁场方向；
（2）粒子做类似平抛运动，根据类平抛运动得到分位移公式列式求解；
（3）对类似平抛运动过程根据分运动公式求解末速度的大小和方向；在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解轨道半径；然后结合几何关系确定C点离坐标原点O的距离．

解答 解：（1）带电粒子做匀速直线运动，其所受合力为零，带电粒子受到的电场力沿y轴负方向，故带电粒子受到的洛伦兹力方向沿y轴正方向，根据左手定则判断磁场方向垂直纸面向外；
根据带电粒子受的洛伦兹力等于电场力，有：
qv₀B=qE₁  ①
解得：
B=$\frac{{E}_{1}}{{v}_{0}}$  ②
（2）撤去磁场后，带电粒子受电场力做类似平抛运动，根据牛顿第二定律，有：
qE₂=ma    ③
x轴方向：2L=v₀t  ④
y轴方向：L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$  ⑤
解得：E₂=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$    ⑥
（3）带电粒子穿过B点时竖直速度：
v_y=at   ⑦
由④⑤⑦解得：
v_y=v₀ 
则通过B点时的速度：
v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}$ 
与x轴正方向的夹角正弦：
sinθ=$\frac{{v}_{y}}{v}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
故θ=45°
带电粒子在第3象限内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，故：
qvB=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
E₁=2E₂
由第1问知：B=$\frac{{E}_{1}}{{v}_{0}}=\frac{2{E}_{2}}{{v}_{0}}$
联立解得：
R=$\sqrt{2}$L
CO=（$\sqrt{2}$-1）L
答：（1）匀强磁场的大小为，方向为$\frac{{E}_{1}}{{v}_{0}}$；
（2）电场强度E₂的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$；
（3）C点离坐标原点O的距离为（$\sqrt{2}$-1）L．

点评 本题关键是明确粒子的受力情况和运动情况，分匀速直线运动、类似平抛运动和匀速圆周运动，根据平衡条件、类平抛运动的分运动公式和牛顿第二定律列式求解．