Question

5．2013年12月2日，我国成功发射探月卫星“嫦娥三号”，该卫星在环月圆轨道绕行n圈所用的时间为t，月球半径为R₀，月球表面处重力加速度为g₀．
（1）请推导出“嫦娥三号”卫星离月球表面高度的表达式；
（2）地球和月球的半径之比为$\frac{R}{{R}_{0}}$=4，表面重力加速度之比为$\frac{g}{{g}_{0}}$=6，试求地球和月球的密度之比．

Answer 1

分析 （1）“嫦娥三号”星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列出等式．忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力，列出等式求解．
（2）根据密度的公式和已知量表示出密度，再求密度之比．

解答 解：（1）由题意知，“嫦娥三号”卫星的周期为 T=$\frac{t}{n}$
设卫星离月球表面的高度为h，由万有引力提供向心力得：
  G$\frac{Mm}{（{R}_{0}+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R₀+h）
在月球表面，根据重力等于万有引力，得
  G$\frac{Mm′}{{R}_{0}^{2}}$=m′g₀．
联立解得：h=$\root{3}{\frac{{g}_{0}{R}_{0}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}$-R₀
（2）设星球的密度为ρ，由G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g
得GM=gR²
ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$
联立解得：ρ=$\frac{3g}{4GπR}$
设地球、月球的密度分别为ρ₁、ρ₀，则：$\frac{{ρ}_{1}}{{ρ}_{0}}$=$\frac{g}{{g}_{0}}$×$\frac{{R}_{0}}{R}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$
答：
（1）“嫦娥三号”卫星离月球表面高度的表达式为h=$\root{3}{\frac{{g}_{0}{R}_{0}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}$-R₀．
（2）地球和月球的密度之比为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查应用物理知识分析研究科技成果的能力，基本思路是：建立模型，运用万有引力等于向心力研究．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量灵活选择．