Question

宇航员在地球上用一根长0.5m细绳拴着一个小球在竖直平面内做圆周运动，用传感器测出小球在最高点时的速度大小v=3m/s及绳上的拉力F=4N．若宇航员将此小球和细绳带到某星球上，在该星球表面上让小球也在竖直平面内做圆周运动，用传感器测出在最低点时绳上拉力F₁=9N，最高点时绳上拉力F₂=3N．取地球表面重力加速度g=10m/s²，空气阻力不计．求：
（1）该小球的质量m；
（2）该星球表面附近的重力加速度g’；
（3）已知该星球的半径与地球半径之比为R_星：R_地=1：4，求该星球的质量与地球质量之比M_星：M_地．

Answer 1

分析：（1）小球在最高点A时，由重力和绳子的拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列出等式求解球的质量m
（2）该星球表面上让小球也在竖直平面内做圆周运动，根据牛顿第二定律分别对最低点和最高点列出等式，并由机械能守恒列式方程，联立求解星球表面附近的重力加速度
（3）根据重力近似等于万有引力，根据万有引力定律列式求M_星：M_地．

解答：解：（1）小球在最高点A时，根据牛顿第二定律得
   mg+F=m

v2

l

解得 m=0.5kg
（2）该星球表面上让小球也在竖直平面内做圆周运动，根据牛顿第二定律得
 最低点：F₁-mg=m

v 2 1

l

 最高点：F₂+mg=m

v 2 2

l

又由机械能守恒得
 

1

2

m

v

2 1

=

1

2

m

v

2 2

+2mg′l
联立以上三式得 F₂-F₁=6mg′
解得星球表面附近的重力加速度g′=2m/s²
（3）根据重力等于万有引力得：
  G

Mm

R2

=mg
得：

M星

M地

=

g′ R 2 星

g R 2 地

=

1

80

答：
（1）该小球的质量m是0.5kg；
（2）该星球表面附近的重力加速度g为2m/s²；
（3）该星球的质量与地球质量之比M_星：M_地是1：80．

点评：解决本题的关键运用牛顿第二定律、机械能守恒定律和掌握万有引力等于重力解答．