Question

18．某滑板爱好者在离地h=3.2m高的平台上滑行，水平离开A点后，恰好无碰撞的沿圆弧轨道切线从B点进入竖直光滑的圆弧轨道．并从与B等高的D点离开圆弧轨道进入DE倾斜轨道．已知人与滑板的总质量m=60kg，圆弧轨道半径R=5m，对应的圆心角为106°，倾斜轨道DE与圆弧轨道相切于D点，倾斜轨道DE与滑板间的动摩擦因素μ=0.3．空气阻力忽略不计，取g=10m/s²，sin53°=cos37°=0.8，sin37°=cos53°=0.6，求：

（1）人与滑板离开平台A时的速度大小；
（2）人与滑板过圆弧轨道最低点C时对轨道的压力；
（3）人与滑板沿DE倾斜轨道到达的最高点距D点的距离．

Answer 1

分析 （1）从A至B的过程中，人和滑板做的是平抛运动，根据平抛运动的规律，由高度求出人和滑板到达B点时竖直分速度，由速度分解法可以求出开始平抛时初速度的大小；
（2）运动员在圆弧轨道做圆周运动，在最低点时，对人受力分析，根据牛顿第二定律和向心力的公式可以求得人与滑板对轨道的压力的大小；
（3）在斜面上时，对人和滑板受力分析，找出对人做功的有几个力，根据动能定理可以求得在斜面上滑行的最大距离．

解答 解：（1）运动员离开平台后从A至B的过程中，
在竖直方向有：v_y²=2gh，v_y=8m/s ①
在B点有：v_y=v₀tan53° ②
由①②得：v₀=6m/s  ③
（2）运动员在圆弧轨道做圆周运动时，在C点，由牛顿第二定律可得 N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ ④
从A运动到C，由机械能守恒得 $\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$+mg[h+R（1-cos53°）]=$\frac{1}{2}$mv² ⑤
联立③④⑤解得 N=1680N．
由牛顿第三定律得人与滑板过圆弧轨道最低点C时对轨道的压力为1680N．
（3）设人与滑板沿DE倾斜轨道到达的最高点距D点的距离为L．
对运动员从A至D过程有：-mg[h-Lsin53°]-μmgcos53°•L=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$ ⑥
解得 L≈2.25m
答：
（1）运动员（连同滑板）离开平台时的初速度v₀为6m/s；
（2）运动员（连同滑板）通过圆弧轨道最底点对轨道的压力为1680N；
（3）运动员（连同滑板）在斜面上滑行的最大距离为2.25m

点评 本题首先要明确人和滑板的运动情况，把握其运动规律．在题目中人先做的是平抛运动，然后再圆轨道内做的是圆周运动，最后运动到斜面上时，由于有摩擦力的作用，机械能不守恒了，此时可以用动能定理来计算运动的距离的大小．