Question

11．如图所示，劲度系数为k的轻弹簧下端周定在水平地面上，上端连接一质量为m的物体A，一不可伸长的轻绳跨过滑轮，两端分别与物体A及质量为2m的物体B连接，不计空气阻力、定滑轮与轻绳间的摩擦，重力加速度为g．弹簧的形变始终在弹性限度内．
（1）用手托住物体B，使两边轻绳和弹簧都处于竖直状态，轻绳恰能拉直且弹簧处于原长，然后无初速度释放物体B，物体B可下落的最大距离为l，求物体B下落过程中，弹簧的最大弹性势能．
（2）用手托住物体B，使两边轻绳和弹簧都处于竖直状态，轻绳中恰好不产生拉力，然后无初速度释放物体B，求物体A的最大速度；
（3）将物体B放在动摩擦因数为μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，倾倾角为θ=30°的固定斜面上，用手按住，恰能使轻绳拉直，且弹簧处于原长，如图所示，若要使物体B下滑距离也为l，则物体B沿斜面向下的初速度至少要多大？

Answer 1

分析 （1）重物与弹簧组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律可以求出最大弹性势能．
（2）当物体A的合力为零时速度最大，由牛顿第二定律和胡克定律得出此时弹簧的形变量，再由机械能守恒定律求A的最大速度．
（3）对系统，由能量守恒定律可以求出初速度．

解答 解：（1）重物下落距离l的过程中，它与弹簧组成的系统机械能守恒，则由机械能守恒定律得弹簧的最大弹性势能为：
E_Pm=2mgl-mgl=mgl；
（2）释放前，弹簧的压缩量为：x₁=$\frac{mg}{k}$
当物体A的合力为零时速度最大，此时B的合力也为零，则绳子拉力为：T=2mg
由牛顿第二定律知，此时弹簧对A的拉力为：F=T-mg=mg
此时弹簧的伸长量为：x₂=$\frac{mg}{k}$
则 x₂=x₁，所以物体A速度最大时弹簧的弹性势能等于释放前的弹性势能．对系统，由机械能守恒得：
2mg（x₁+x₂）=mg（x₁+x₂）+$\frac{1}{2}•3m{v}^{2}$
解得物体A的最大速度为：v=2$\sqrt{\frac{m{g}^{2}}{3k}}$
（3）由（1）可知，重物在斜面上下滑l距离时，弹簧的弹性势能最大，最大弹性势能仍为：E_Pm=mgl
由能量守恒定律得：$\frac{1}{2}$•3mv₀²+2mglsinθ=mgl+μmglcosθ+E_Pm
解得：v₀=$\sqrt{\frac{5gl}{3}}$
答：（1）物体B下落过程中，弹簧的最大弹性势能是mgl．
（2）物体A的最大速度为2$\sqrt{\frac{m{g}^{2}}{3k}}$．
（3）物体B沿斜面向下的初速度至少要$\sqrt{\frac{5gl}{3}}$．

点评 解决本题的关键要明确物体A和B的状态，知道A的速度最大时两个物体的合力都为零．涉及力在空间的效应，可考虑能量守恒定律或动能定理．