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    两根足够长的光滑平行导轨与水平面的夹角θ=30°，宽度L=0.2m，导轨间有与导轨平面垂直的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T，如图所示，在导轨间接有R=0.2Ω的电阻，一质量m=0.01kg、电阻不计的导体棒ab，与导轨垂直放置，无初速释放后与导轨保持良好接触并能沿导轨向下滑动．（g取10m/s2）
    （1）求ab棒的最大速度．
    （2）若将电阻R换成平行板电容器，其他条件不变，试判定棒的运动性质．若电容C=1F，求棒释放后4s内系统损失的机械能．
    【答案】分析：（1）分析棒的运动情况：开始阶段，棒的重力沿斜面向下的分力大于安培力，棒做加速运动，随着速度增大，棒所受的安培力增大，加速度减小，则棒做加速度减小的变加速运动；当重力沿斜面向下的分力与安培力平衡时，棒做匀速运动，速度达到最大．根据E=BLv、I=、F=BIL，推导出安培力的表达式，由平衡条件可求出最大速度．
    （2）若将电阻R换成平行板电容器，取极短时间内，棒的速度增加量为△v，则得知棒的感应电动势增加量△E=BL△v，电容器充电，充电电流为I==，棒所受的安培力大小为F=BIL=CB2L2a，根据牛顿第二定律：mgsinθ-CB2L2a=ma，即可求出加速度，可见，棒做匀加速运动，由运动学公式求出t=4s时棒的速度和位移，由能量守恒定律求解棒释放后4s内系统损失的机械能．
    解答：解：（1）设某时刻ab的速度为v
    则感应电动势E=BLv，电流强度  
    棒所受安培力
    则由牛顿第二定律得 mgsinθ-FB=ma
    代入得
    当a=0时，有  
    （2）设t时刻棒的加速度为a，速度为v，产生的电动势为E，（t+△t）（△t→0）时刻，棒的速度为（v+△v），电动势为E′，则
       E=BLv       E′=BL（v+△v）
    △t内流过棒截面的电荷量△q=C（E'-E）=CBL△v
    电流强度
    棒受的安培力
    由牛顿第二定律，t时刻对棒有   mgsinθ-FB=ma
    即 mgsinθ-CB2L2a=ma
    故  
    故棒做匀加速直线运动．
    当t=4s时，v=at=10m/s      
    由能量守恒：
    答：
    （1）ab棒的最大速度为1m/s．
    （2）若将电阻R换成平行板电容器，棒释放后4s内系统损失的机械能为0.5J．
    点评：本题关键是分析棒的受力情况，分析其运动情况，第1问类似于汽车恒定功率起动的过程，要抓住安培力与速度成正比的特点进行动态分析．第2问难点是运用微分的方法分析电路中电流，求出安培力，根据牛顿第二定律判断出棒的运动性质．
    练习册系列答案
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    科目：高中物理 来源： 题型：

    如图甲所示，两根足够长的光滑平行金属导轨相距l=0.4 m，导轨平面与水平面成θ=30°角，下端通过导线连接阻值R=0.5Ω的电阻．金属棒ab阻值r=0.3Ω，质量m=0.2kg，放在两导轨上，与导轨垂直并保持良好接触．其余部分电阻不计，整个装置处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中．取g=10 m/s2．

    （1）若磁场是均匀增大的匀强磁场，在开始计时即t=0时刻磁感应强度B0=2.0T，为保持金属棒静止，作用在金属棒上平行斜面向上的外力F随时间t变化的规律如图乙所示，求磁感应强度B随时间t变化的关系．
    （2）若磁场是磁感应强度大小恒为B1的匀强磁场，通过额定功率P=10W的小电动机对金属棒施加平行斜面向上的牵引力，使其从静止开始沿导轨做匀加速度直线运动，经过
    87
    s电动机达到额定功率，此后电动机功率保持不变，金属棒运动的v-t图象如图丙所示．试求磁感应强度B1的大小和小电动机刚达到额定功率时金属棒的速度v1的大小？

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    科目：高中物理 来源： 题型：

    （2011?上海模拟）如图甲所示，两根足够长的光滑平行金属导轨相距为L=0.40m，导轨平面与水平面成θ=30？角，上端和下端通过导线分别连接阻值R1=R2=1.2Ω的电阻，质量为m=0.20kg、阻值为r=0.20Ω的金属棒ab放在两导轨上，棒与导轨垂直且保持良好接触，整个装置处在垂直导轨平面向上的磁场中，取重力加速度g=10m/s2．若所加磁场的磁感应强度大小恒为B，通过小电动机对金属棒施加力，使金属棒沿导轨向上做匀加速直线运动，经过0.5s电动机的输出功率达到10W，此后保持电动机的输出功率不变，金属棒运动的v-t图如图乙所示，试求：
    （1）磁感应强度B的大小；
    （2）在0-0.5s时间内金属棒的加速度a的大小；
    （3）在0-0.5s时间内电动机牵引力F与时间t的关系；
    （4）如果在0-0.5s时间内电阻R1产生的热量为0.135J，则这段时间内电动机做的功．

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    科目：高中物理 来源： 题型：

    （2011?黄浦区一模）如图（a）所示，两根足够长的光滑平行金属导轨相距为l，导轨平面与水平面成θ角，下端通过导线连接的电阻为R．质量为m、阻值为r的金属棒ab放在两导轨上，棒与导轨垂直并始终保持良好接触，整个装置处于垂直导轨平面向上的磁场中．
    （1）若金属棒距导轨下端距离为d，磁场随时间变化的规律如图（b）所示，为保持金属棒静止，求加在金属棒中央、沿斜面方向的外力随时间变化的关系．
    （2）若所加磁场的磁感应强度大小恒为B′，通过额定功率Pm的小电动机对金属棒施加沿斜面向上的牵引力，使其从静止开始沿导轨做匀加速直线运动，经过时间t1电动机达到额定功率，此后电动机功率保持不变．金属棒运动的v-t图象如图（c）所示．求磁感应强度B′的大小．
    （3）若金属棒处在某磁感应强度大小恒定的磁场中，运动达到稳定后的速度为v，在D位置（未标出）处突然撤去拉力，经过时间t2棒到达最高点，然后沿轨道返回，在达到D位置前已经做匀速运动，其速度大小为
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    v    ，求棒在撤去拉力后所能上升的最大高度．

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    科目：高中物理 来源： 题型：

    （2008?东莞模拟）如图（a）所示，两根足够长的光滑平行金属导轨相距为L，导轨平面与水平面成θ角，上端通过导线连接阻值为R的电阻，阻值为r的金属棒ab放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，整个装置处在垂直导轨平面向上的磁场中，若所加磁场的磁感应强度大小恒为B，使金属棒沿导轨由静止向下运动，金属棒运动的v-t图象如图（b）所示，当t=t0时刻，物体下滑距离为s．已知重力加速度为g，导轨电阻忽略不计．试求：
    （1）金属棒ab匀速运动时电流强度I的大小和方向；
    （2）导体棒质量m；
    （3）在t0时间内电阻R产生的焦耳热．

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    科目：高中物理 来源： 题型：

    精英家教网如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距离L=0.5m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面与水平面成30°角．完全相同的两金属棒ab、cd分别垂直导轨放置，且都与导轨始终有良好接触．已知两金属棒质量均为m=0.02kg，电阻相等且不可忽略．整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.2T，金属棒ab在平行于导轨向上的力F作用下，沿导轨向上匀速运动，而金属棒cd恰好能够保持静止．取g=10m/s2，求：
    （1）通过金属棒cd的电流大小、方向；
    （2）金属棒ab受到的力F大小；
    （3）若金属棒cd的发热功率为0.1W，金属棒ab的速度．

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