Question

1．如图所示，半径为R=0.2m的半球形大碗，固定在可以以一定角速度绕竖直轴OO′匀速旋转的水平转台上，其中O为碗中心，O′为碗的最低点，当转台不转动时，把一质量为m=0.1kg的小球（小球可看做质点），从碗的上边缘无初速度的释放，到达碗的最低点时，小球的速度为1m/s，球与碗间的动摩擦因数μ=0.4．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.75）
（1）求小球在最低点所受滑动摩擦力的大小；
（2）求小球从碗口边缘到最低点过程中，小球克服摩擦力所做的功；
（3）若转台以一定的角速度匀速旋转，当小球所在位置A点与半球形碗的球心O的连线与竖直方向的夹角为θ=37°时，小球与碗无相对运动趋势，求小球的速率．

Answer 1

分析 （1）小球在最低点受到重力、支持力和摩擦力的作用，重力和支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律即可求出小球受到的支持力的大小，然后后滑动摩擦力的公式即可求出摩擦力的大小；
（2）小球向下运动的过程中，重力和摩擦力做功，由功能关系即可求出摩擦力的功；
（3）小球与碗无相对运动趋势，说明小球受到的支持力与重力的合力提供向心力，由受力分析结合牛顿第二定律即可求出小球的速度．

解答 解：（1）小球在最低点受到重力、支持力和摩擦力的作用，重力和支持力的合力提供向心力，则：
${F}_{N1}-mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$
得：${F}_{N1}=mg+\frac{m{v}^{2}}{R}=0.1×10+\frac{0.1×{1}^{2}}{0.2}=1.5$N
小球受到的摩擦力：f=μF_N1=0.4×1.5=0.6N
（2）小球向下运动的过程中，重力和摩擦力做功，由功能关系得：
mgR-W_f=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
所以：W_f=mgR-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$0.1×10×0.2-\frac{1}{2}×0.1×{1}^{2}=0.15$J
（3）小球与碗无相对运动趋势，则小球受到的支持力与重力的合力提供向心力，对小球进行受力分析如图，

由图可得：$\frac{m{v}^{2}}{Rsinθ}=mgtanθ$
所以：$v=\sqrt{gRsinθtanθ}$=$\sqrt{10×0.2×0.6×\frac{3}{4}}=\sqrt{0.9}≈0.95$m/s
答：（1）小球在最低点所受滑动摩擦力的大小是0.6N；
（2）小球从碗口边缘到最低点过程中，小球克服摩擦力所做的功是0.15J；
（3）小球与碗无相对运动趋势，小球的速率是0.95m/s．

点评 解决本题的关键搞清物块做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律，抓住第三问时竖直方向上合力为零，水平方向上的合力提供向心力进行求解，难度适中．