Question

13．滑雪运动中当滑雪板压在雪地时会把雪内的空气逼出来，在滑雪板和雪地之间形成暂时的“气垫”从而减小雪地对滑雪板的摩擦，然后当滑雪板的速度较小时，与雪地接触时间超过某一时间就会陷下去，使得它们间的摩擦阻力增大．假设滑雪者的速度超过4m/s时，滑雪板与雪地间的动摩擦因数就会从0.25变为0.125．一滑雪者从倾角为θ=37⁰斜坡的A处由静止开始自由下滑，滑至坡底B处（B处为一光滑小圆弧）后又滑上一段水平雪地，最后停在水平雪道BC上的某处．如图所示，不计空气阻力，已知AB长14.8m，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）滑雪者从静止开始到动摩擦因数发生变化所经历的时间
（2）滑雪者到达B处的速度大小
（3）假如水平雪道BC的长度只有99.2m（C处后面为悬崖），为了保证安全，从斜坡上静止开始自由下滑时出发点离B点的距离不得超过多少？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出滑雪者在斜坡上从静止开始加速至速度v₁=4m/s期间的加速度，再根据速度时间公式求出运动的时间．
（2）再根据牛顿第二定律求出速度大于4m/s时的加速度，球心速度为4m/s之前的位移，从而得出加速度变化后的位移，根据匀变速直线运动的速度位移公式求出滑雪者到达B处的速度．
（3）分析滑雪者的运动情况，根据牛顿第二定律求解每个过程的加速度，再根据位移速度关系求解．

解答 解：（1）设滑雪者质量为m，滑雪者在斜坡上从静止开始加速至速度v=4m/s期间，
由牛顿第二定律有：$mgsin{37^0}-{μ_1}mgcos{37^0}=m{a_1}$；
解得：${a_1}=4m/{s^2}$；
根据速度时间关系可得：$t=\frac{v}{a_1}=1s$
（2）设滑雪者由静止加速至4m/s期间的位移为x₁，随后滑雪者的加速度为a₂，滑到B出的位移为x₂，
则根据运动学公式有：${x_1}=\frac{1}{2}{a_1}{t^2}=2m$；
根据牛顿第二定律可得：$mgsin{37^0}-{μ_2}mgcos{37^0}=m{a_2}$；
解得：${a_2}=5m/{s^2}$；
根据位移关系有：x₂=L-x₁=12.8m；
根据位移速度关系可得：$v_B^2-v_{\;}^2=2{a_2}{x_2}$，
代入数据解得：v_B=12m/s；
（3）在水平面上滑行的最后一段位移为x₄，加速度大小为a₄，
根据牛顿第二定律可得：${a_4}={μ_1}g=2.5m/{s^2}$，
根据位移速度关系可得：0-v²=2a₄x₄，
解得：x₄=3.2m，
在水平面上滑行的前面一段为x₃，加速度大小为a₃
则：${a_3}={μ_2}g=1.25m/{s^2}$，
由于x₃=99.2m-3.2m=96m，
设在B点的速度为v_B′
根据位移速度关系可得：${v^2}-v_B^{/2}=2{a_3}{x_3}$，得：$v_B^/=16m/s$；
在斜坡上运动时，第二段运动的位移为x₂：
根据位移速度关系可得：$v_B^{/2}-{v^2}=2{a_2}{x_2}$；
得：x₂=24m
第一段位移为x₁v²=2a₁x₁，
得：x₁=2m，
则：x=x₁+x₂=26m．
答：（1）滑雪者从静止开始到动摩擦因数发生变化所经历的时间为1s；
（2）滑雪者到达B处的速度大小为12m/s；
（3）假如水平雪道BC的长度只有99.2m（C处后面为悬崖），为了保证安全，从斜坡上静止开始自由下滑时出发点离B点的距离不得超过26m．

点评 对于牛顿第二定律的综合应用问题，关键是弄清楚物体的运动过程和受力情况，利用牛顿第二定律或运动学的计算公式求解加速度，再根据题目要求进行解答；知道加速度是联系静力学和运动学的桥梁．