Question

17．如图为某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的AB段对接与四分之一光滑圆弧轨道BC在B点水平相切．点A距水面的高度为H，圆弧轨道BC的半径为R，圆心O恰在水面．一质量为m的游客（视为质点）可从轨道AB的任意位置滑下，不计空气阻力．
（1）若游客从A点由静止开始滑下，到B点时沿切线方向滑离轨道落在水面D点，OD=2R，求游客滑到的速度v_B大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功W_f；
（2）若游客从AB段某处滑下，恰好停在B点，又因为受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到P点后滑离轨道，求P点离水面的高度h．（提示：在圆周运动过程中任一点，质点所受的向心力与其速率的关系为F_向=m$\frac{{v}^{2}}{R}$）

Answer 1

分析 （1）游客从B点开始做平抛运动，将运动分解，即可求出游客到达B的速度，A到B的过程中由动能定理即可求出运动过程轨道摩擦力对其所做的功W_f．
（2）设OP与OB最近的夹角是θ，在P点离开轨道时，轨道对游客的支持力是0，由重力指向圆心的分力提供向心力，结合机械能守恒与向心力的表达式即可求解．

解答 解：（1）游客从B点做平抛运动，有2R=v_Bt；R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$；
联立解得 v_B=$\sqrt{2gR}$
从A到B，根据动能定理，有 mg（H-R）+W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-0
得：W_f=mg（2R-H）；
（2）设OP与OB间夹角为θ，游客在P点时的速度为v_P，从B到P由机械能守恒定律，有
  mg（R-Rcosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$-0
过P点时，由重力指向圆心的分力提供向心力，根据向心力公式得：
mgcosθ=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$
又：cosθ=$\frac{h}{R}$
联立得：h=$\frac{2}{3}$R
答：
（1）游客滑到的速度v_B大小是$\sqrt{2gR}$，运动过程轨道摩擦力对其所做的功是mg（2R-H）．
（2）P点离水面的高度是$\frac{2}{3}R$．

点评 该题中正确判断出游客在P点离开轨道时，轨道对游客的支持力是0，由重力指向圆心的分力提供向心力是解题的关键．