Question

20．如图为一回旋加速器的示意图，已知D形盒的半径为R，中心O处放有质量为m、带电量为q的正离子源，若磁感应强度大小为B，求：
（1）加在D形盒间的高频电源的频率$\frac{qB}{2πm}$；
（2）离子加速后的最大能量$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$；
（3）离子在第n次通过窄缝前后的半径之比$\frac{{r}_{n-1}}{{r}_{n}}=\sqrt{\frac{n-1}{n}}$．

Answer 1

分析 （1）根据质子做匀速圆周运动的周期公式，即可求解；
（2）根据运动半径等于R，结合牛顿第二定律与向心力，即可求解；
（3）根据加速后最大动能，结合加速次数，从而可确定加速与回旋时间．

解答 解：（1）质子的回旋周期为：$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$①
高频电源的频率为：$f=\frac{1}{T}=\frac{qB}{2πm}$②
（2）当回旋半径r=R时，质子的速度最大        
$q{v_m}B=m\frac{v_m^2}{R}$
得${v_m}=\frac{qBR}{m}$③
质子加速后的最大动能为：${E_k}=\frac{1}{2}mv_m^2=\frac{{{q^2}{B^2}{R^2}}}{2m}$④
（3）质子在电场中加速的次数为n-1次后，则：E_kn-1=（n-1）•qU  ⑤
质子在电场中加速的次数为n次后，则：E_kn=n•qU  ⑥
由洛伦兹力提供向心力得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$ 
得：R=$\frac{mv}{qB}$   ⑦
所以：$\frac{{R}_{n-1}}{{R}_{n}}=\frac{{v}_{n-1}}{n}$=$\sqrt{\frac{{E}_{kn-1}}{{E}_{kn}}}=\sqrt{\frac{（n-1）qU}{nqU}}$=$\sqrt{\frac{n-1}{n}}$
故答案为：（1）$\frac{qB}{2πm}$；（2）$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$；（3）$\frac{{r}_{n-1}}{{r}_{n}}=\sqrt{\frac{n-1}{n}}$

点评 考查粒子做匀速圆周的周期公式与半径公式的应用，掌握牛顿第二定律，注意区别求加速时间与回旋时间的不同．