Question

7．将一个小圆环瓷片保持环面平行地面从高处由静止释放，小瓷片直接撞击地面不被摔坏的最大释放高度为hm．若将该圆环瓷片套在圆柱体的上端，瓷片可沿圆柱体下滑，但瓷片与圆柱体间的滑动摩擦力是瓷片重力的μ倍（μ＞1），如图所示，现将该装置从下端距地面H高处由静止释放，瓷片撞击地面时速度最大且恰好不被摔坏．已知瓷片、圆柱体与瓷片下落过程中均受空气阻力的作用，空气阻力恒为自身重力的k倍（k＞1），重力加速度为g，圆柱体与地面碰撞后速度立即变为零且保持竖立．求：
（1）瓷片直接撞击地面而不被摔坏时，瓷片着地的最大速度v_m；
（2）圆柱体的长度L．

Answer 1

分析 （1）通过牛顿第二定律求出加速度，利用运动学求出落地速度；
（2）通过运动学求出柱体落地时的速度，再利用牛顿第二定律求出瓷片的加速度，即可求的柱体的长度；

解答 解：（1）瓷片从h处下落直接撞击地面而恰好不被摔坏，设瓷片质量为m加速度为a₁，
对瓷片受力分析，由牛顿第二定律得，
mg-kmg=ma₁，
${v}_{m}^{2}=2{a}_{1}{h}_{m}$
联立以上方程得：${v}_{m}=\sqrt{2（1-k）g{h}_{m}}$
（2）瓷片随圆柱体一起加速下落，加速度为a₂，对瓷片和圆柱体受力分析，由牛顿第二定律可得：
a₂=a₁  
由运动学公式得圆柱体落地时瓷片速度：v₁²=2a₂H 
瓷片继续沿圆柱体减速下落直到落地，加速度大小为a₃，
对瓷片受力分析，由牛顿第二定律可得瓷片继续下落的加速度为：mg-kmg-μmg=ma₃
根据：${v}_{m}^{2}-{v}_{1}^{2}=2{a}_{3}L$
联立以上各式解得：L=$\frac{（1-k）（H-{h}_{m}）}{μ+k-1}$
答：（1）瓷片直接撞击地面而不被摔坏时，瓷片着地的最大速度是$\sqrt{2（1-k）g{h}_{m}}$；
（2）圆柱体的长度是$\frac{（1-k）（H-{h}_{m}）}{μ+k-1}$．

点评 本题属于实际问题，很好考查了牛顿第二定律和运动学公式的应用，为已知受力情况求解运动情况的类型，加速度是将力与运动联系起来的桥梁．