Question

14．一辆质量为1000kg的汽车在圆弧半径为50m的拱桥上行驶．（g取10m/s²）
（1）若汽车到达桥顶时速度为v₁=5m/s，汽车对桥面的压力是多大？
（2）汽车以多大速度经过桥顶时，恰好对桥面没有压力？
（3）汽车对桥面的压力过小是不安全的，因此汽车过桥时的速度不能过大．对于同样的车速，拱桥圆弧的半径大些比较安全，还是小些比较安全？
（4）如果拱桥的半径增大到与地球半径一样大，汽车要在桥面上腾空，速度至少为多大？（已知地球半径为6 400km）

Answer 1

分析 （1）在最高点重力和支持力的合力提供向心力，根据向心力公式和牛顿第二定律可列式求解；
（2）汽车对桥恰好无压力，重力完全提供向心力，根据向心力公式和牛顿第二定律可列式求解；
 （3）根据（1）可知；
（4）根据重力提供向心力求出汽车的速度，半径为地球半径．

解答 解：（1）如图所示，汽车到达桥顶时，竖直方向受到重力G和桥对它的支持力N的作用．

汽车对桥顶的压力大小等于桥顶对汽车的支持力N，汽车过桥时做圆周运动，重力和支持力的合力提供向心力，即F=G-N；
根据向心力公式：F=$\frac{m{v}^{2}}{R}$，有N=G-F=mg-m$\frac{{v}^{2}}{R}$=10000-1000×$\frac{{5}^{2}}{50}$=5000N．
故汽车对桥的压力是5000N．
（2）汽车经过桥顶恰好对桥没有压力而腾空，则N=0，即汽车做圆周运动的向心力完全由其自身重力来提供，所以有：
F=G=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×50}$=10$\sqrt{5}$m/s．
故汽车以10$\sqrt{5}$m/s速度经过桥顶时便恰好对桥没有压力而腾空．
（3）根据N=G-F=mg-m$\frac{{v}^{2}}{R}$知R越大，压力N越大，故拱桥圆弧的半径大些比较安全；
（4）由G=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×6400×1{0}^{3}}$=8×10³m/s
答：（1）若汽车到达桥顶时速度为v₁=5m/s，汽车对桥面的压力是5000N；
（2）汽车以10$\sqrt{5}$m/s经过桥顶时，恰好对桥面没有压力；
（3）汽车对桥面的压力过小是不安全的，因此汽车过桥时的速度不能过大．对于同样的车速，拱桥圆弧的半径大些比较安全．
（4）如果拱桥的半径增大到与地球半径一样大，汽车要在桥面上腾空，速度至少为8×10³m/s；

点评 本题关键找出车经过桥的最高点时的向心力来源，然后根据牛顿第二定律和向心力公式列式求解．