Question

某行星表面没有空气，假设某宇航员在这个行星表面上以初速度v=2m/s竖直向上抛出一石块，石块向上运动的最大高度为h=0.5m．已知万有引力常量为G．试求：
（1）该行星表面上的重力加速度g=？
（2）假如有一卫星在它的表面附近（可认为卫星离星球表面高度为零）做匀速圆周运动，环绕周期为T．试求该行星的半径R=？和该行星的质量M=？

Answer 1

分析：（1）石块向上运动由机械能守恒解得行星表面上的重力加速度．
（2）星球表面附近的卫星所受星球的引力等于其重力列出等式．
星球对卫星的引力提供向心力列出等式，联立可解得．

解答：解：（1）设行星轨道半径为r，表面重力加速度为g，质量为M，卫星的质量为m，石块的质量为m₁，
由机械能守恒得：

1

2

m₁v²=m₁gh                              ①
得g=

v2

2h

=4m/s2
（2）星球表面附近的卫星所受星球的引力等于其重力，有 G

mM

R2

=mg②
又因为星球表面附近的卫星的轨道半径等于星球半径R，由星球对卫星的引力提供向心力有G

mM

R2

=m(

2π

T

)2R③
由以上各式得 R=

gT2

4π2

=

T2

π2

M=

gR2

G

=

4T4

Gπ4

答：1）该行星表面上的重力加速度是4m/s²．
（2）该行星的半径是

T2

π2

，该行星的质量是

4T4

Gπ4

．

点评：本题是卫星类型的问题，常常建立这样的模型：环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动，由中心天体的万有引力提供向心力．重力加速度g是联系星球表面宏观物体运动和天体运动的桥梁．