Question

（2013?福州模拟）如图甲所示，在竖直方向存在着两种区域：无电场区域和有理想边界的匀强电场区域．两种区域相互间隔出现，竖直高度均为h．电场区域共有n个，水平方向足够长，每一电场区域场强的大小均为E，且E=mg/q，场强的方向均竖直向上．一个质量为m、电荷量为q的带正电小球（看作质点），从第一无电场区域的上边缘由静止下落，不计空气阻力．

求：（1）小球刚离开第n个电场区域时的速度大小；
（2）小球从开始运动到刚好离开第n个电场区域所经历的总时间（可直接用数列形式表示）；
（3）若在第n个电场区域内加上水平方向的磁场，磁感应强度随时间变化规律如图乙所 示，已知图象中B0=

m 2ngh

qh

，磁感应强度变化的周期T是带电小球在磁场中作匀速圆周运动周期的2倍，问哪段时间内进入第n个电场的小球能返回到与出发点等高的位置？

Answer 1

分析：1、小球在无电场区，只受重力作用，做加速度等于重力加速度g的匀加速直线运动，小球在电场区，所受电场力等于重力，做匀速直线运动． 
所以小球在无电场区域的运动等效看成自由落体运动，根据速度位移公式vn2=2gnh，计算小球刚离开第n个电场区域时的速度．
2、小球在无电场区做匀加速直线运动，进入电场区，因为电场力和重力平衡，做匀速直线运动，根据运动学公式求出小球在无电场区域中所经历的时间．根据自由落体运动的速度位移公式计算小球在第1、第2、第3、…第n个电场区运动的速度，从而计算出各段运动的时间，把各段时间求和即可．
3、当在第n个电场区域内加上方向垂直竖直平面的磁场时，电场力与重力平衡，带电小球仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动．
在0～

T

2

时间内进入复合场中的带电小球，B1qvn=

mvn2

r1

，解得r1=

mvn

qB1

=

m 2ngh

0.5qB0

=2h
在

T

2

～T时间内进入复合场中的带电小球，B2qvn=

mvn2

r2

，解得r2=

mvn

qB2

=

m 2ngh

qB0

=h
只有在(n+

1

2

)T～(n+

3

4

)T时间段内进入复合场中的带电小球，运动

1

4

T后沿竖直方向进入第n个无电场区，根据动能定理：
-mgh′=0-

1

2

mvn2，解得h′=nh．

解答：解：（1）小球在无电场区，只受重力作用，做加速度等于重力加速度g的匀加速直线运动，小球在电场区，所受电场力等于重力，做匀速直线运动． 
小球在无电场区域的运动等效看成自由落体运动，位移为nh，则小球刚离开第n个电场区域时的速度，根据速度位移公式vn2=2gnh
解得vn=

2ngh

（2）小球在无电场区运动的总时间T₁
nh=

1

2

gT12
T1=

2nh g

设小球在第1、第2、第3、…第n个电场区运动的速度分别为v₁、v₂、v₃-----、v_n；
v12=2gh　　　　　         v1=

2gh

v22=2g(2h)=4gh          v2=

4gh

v32=2g(3h)=6gh          v3=

6gh

…
vn2=2gnh                　vn=

2ngh

小球在第1、第2、第3、--------第n个电场区运动的时间分别为t₁、t₂、t₃…、t_n；
小球在电场区运动的总时间T₂：
T₂=t₁+t₂+t₃+…+t_n       
=

h

v1

+

h

v2

+

h

v3

+…+

h

vn

=h(

1

v1

+

1

v2

+

1

v3

+…+

1

vn

)
=h(

1

2gh

+

1

4gh

+

1

6gh

+…+

1

2ngh

)
=

h 2g

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)
设小球从开始运动到刚好离开第n个电场区域所经历的总时间T
T=T₁+T₂
T=

2nh g

+

h 2g

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)
（3）当在第n个电场区域内加上方向垂直竖直平面的磁场时，电场力与重力平衡，带电小球仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动．
在0～

T

2

时间内进入复合场中的带电小球，洛伦兹力提供向心力B1qvn=

mvn2

r1

，
解得r1=

mvn

qB1

=

m 2ngh

0.5qB0

=2h
在

T

2

～T时间内进入复合场中的带电小球，洛伦兹力提供向心力B2qvn=

mvn2

r2

解得r2=

mvn

qB2

=

m 2ngh

qB0

=h
只有在(n+

1

2

)T～(n+

3

4

)T时间段内进入复合场中的带电小球，运动

1

4

T后沿竖直方向进入第n个无电场区，根据动能定理：
-mgh′=0-

1

2

mvn2
解得h′=nh
所以在(n+

1

2

)T～(n+

3

4

)T时间段内进入第n个电场的小球能返回到与出发点等高的位置．

点评：解决本题的关键理清小球在无电场区和电场区的运动规律，运用运动学公式进行求解．