Question

如图甲质量均为m的A、B两球间有压缩的轻短弹簧处于锁定状态，放置在水平面上竖直光滑的发射管内（两球紧靠弹簧不相连，两球的大小尺寸和弹簧尺寸都可忽略，它们整体视为质点），解除锁定后，A球能上升的最大高度为H．如图乙现让两球包括锁定的弹簧从水平面出发，沿光滑的半径为R=2H的半圆槽从左侧由静止开始下滑，滑至最低点时，瞬间解除锁定．求：
（1）两球运动到最低点弹簧锁定解除前所受轨道的弹力？
（2）A球离开圆槽后能上升的最大高度？

Answer 1

分析：A、B系统由水平位置滑到轨道最低点，根据机械守恒定律求出最低点时速度，根据牛顿第二定律求解．
由解除锁定后的最大高度可求得弹簧的弹性势能；在圆槽底部释放时，由动量守恒结合机械能守恒定律可求得A球的速度；再由机械能守恒可求得A球上升的最大高度．

解答：解：（1）A、B系统由水平位置滑到轨道最低点时速度为v₀，设半径为R，
由机械守恒定律得：2mgR=

1

2

2mv₀²，
设轨道对小球的弹力为F，由牛顿第二定律得：
F-2mg=2m

v 2 0

R

，解得：F=6mg；
（2）图甲中解除锁定后弹簧将弹性势能全部转化为A的机械能，
则弹性势能为E_P=mgH，
图乙中滑至最低点时有：2mg×2H=

1

2

2mv₀²，
解除锁定后A、B的速度分别为v_A、v_B，
解除锁定过程中动量守恒：2mv₀=mv_B+mv_A，
系统机械能守恒：

1

2

2mv₀²+E_P=

1

2

m v_A²+

1

2

mv_B²，
有：v_A²-4v_A

gH

+3gH=0，
解得：v_A=3

gH

，（或v_A=

gH

舍去）
设球A上升的高度为h，球A上升过程机械能守恒
mg（h+R）=

1

2

mvA²，解得：h=2.5H；
答：（1）两球运动到最低点弹簧锁定解除前所受轨道的弹力为6mg．
（2）A球离开圆槽后能上升的最大高度为2.5H．

点评：本题考查动量守恒及机械能守恒定律的综合应用，要注意分析过程中的能量转化，并结合正确的规律求解．