Question

11．如图所示，用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层，设水柱直径为D，水流速度为v，水的密度为ρ，水柱垂直煤层表面，水柱冲击煤层后水的速度为零．
（1）求高压水枪的功率；
（2）求水柱对煤的平均冲力；
（3）若将质量为m的高压水枪固定在质量为M的小车上，当高压水枪喷出速度为v（相对于地面），质量为△m的水流时，小车的速度是多大？水枪做功多大？不计小车与地面的摩擦力．

Answer 1

分析 （1）先求出时间ts内喷出水的质量，再求出做的功，由P=$\frac{W}{t}$求得功率；
（2）根据动量定理公式，求出平均作用力的大小；
（3）小车与水流组成的系统的动量守恒，由此求出小车的速度，由功能关系即可求出水枪做的功．

解答 解：（1）ts时间内喷水质量为：m=ρSvt=$ρ•\frac{{πD}^{2}}{4}•vt$，
水枪在时间ts内做功转化为水柱的动能，为：W=$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{8}ρπ{D}^{2}{v}^{3}t$
故水枪的功率为P=$\frac{\frac{1}{8}ρπ{D}^{2}{v}^{3}t}{t}$=$\frac{1}{8}ρπ{D}^{2}{v}^{3}$．
（2）ts时间内喷出的水在ts内速度减小为0，则由动量定理得：-Ft=0-mv
联立得：F=$\frac{mv}{t}=\frac{ρ•\frac{{πD}^{2}}{4}•vt•v}{t}$=$\frac{1}{4}ρπ{D}^{2}{v}^{2}$
（3）由于小车与地面之间的摩擦力不计，小车与水流组成的系统的动量守恒，选取水流的方向为正方向，则：
△mv+（m+M）v′=0
所以：$v′=\frac{△mv}{m+M}$
由题可知，水枪做的功转化为水的动能和小车的动能，则：
$W′=\frac{1}{2}△m{v}^{2}+\frac{1}{2}（m+M）v{′}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{△{m}^{2}{v}^{2}}{2（M+m）}$
答：（1）高压水枪的功率是$\frac{1}{8}ρπ{D}^{2}{v}^{3}$；
（2）水柱对煤的平均冲力是$\frac{1}{4}ρπ{D}^{2}{v}^{2}$；
（3）水枪喷出速度为v，质量为△m的水流时$\frac{△mv}{m+M}$，小车的速度是，水枪做功是$\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{△{m}^{2}{v}^{2}}{2（M+m）}$．

点评 本题明显是多个题目的组合，在解答的过程中，注意先求出时间t内喷水枪所做的功即可；
另外，理解该题的描述要与日常生活的实际联系：
1．日常生产中，水枪是单独与水泵相连的，水枪内的水来自于水泵的输送，而不是在小车上！！
2．不计小车与地面的摩擦力也只能是为计算题目而设计的，日常的生产中，是不可以让小车后退的．