Question

16．如图所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为2m的光滑弧形槽静止放在足够长的光滑水平面上，弧形槽末端与水平面相切．一个质量为m的小球从弧形槽上高h处由静止释放，小球与弹簧发生作用的过程中无机械能损失，重力加速度为g．求：
（1）小球与弹簧相互作用过程中，弹簧对小球的冲量大小；
（2）小球与弹簧第一次分离后在弧形槽上能上升的最大高度．

Answer 1

分析 小球与槽组成的系统在水平方向动量守恒，应用动量守恒定律与机械能守恒定律求出球与槽的速度，然后应用动量定理求出小球受到的冲量；应用机械能守恒定律求出小球上升的最大高度．

解答 解：（1）设小球到达水平面时速度大小为v₁，槽速度大小为v₂，
球与槽组成的系统在水平方向动量守恒，以向右为正方向，
球下滑过程中，由动量守恒定律得：mv₁-2mv₂=0    ①
由机械能守恒定律的：$mgh=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}•2mv_2^2$  ②
解得：${v_1}=2\sqrt{\frac{gh}{3}}$，${v_2}=\sqrt{\frac{gh}{3}}$ ③
在小球与弹簧发生作用的过程中，由动量守恒定律得：
${I_弹}=△{P_球}=-m{v_1}-m{v_1}=2m{v_1}=-4m\sqrt{\frac{gh}{3}}$  ④
即弹簧对小球的冲量大小是：$4m\sqrt{\frac{gh}{3}}$；
（2）小球和槽组成的系统水平方向动量守恒，以向右为正方向，
由动量守恒定律得：mv₁+2mv₂=（2m+m）v_共 ⑤
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}×2mv_2^2=\frac{1}{2}（2m+m）v_共^2+mgh'$  ⑥
解得：$h'=\frac{1}{9}h$ ⑦
答：（1）小球与弹簧相互作用过程中，弹簧对小球的冲量大小为$4m\sqrt{\frac{gh}{3}}$；
（2）小球与弹簧第一次分离后在弧形槽上能上升的最大高度是$\frac{1}{9}$h．

点评 本题考查了求冲量、小球上升的高度问题，分析清楚物体的运动过程是正确解题的前提与关键，应用动量守恒定律、机械能守恒定律、动量定理即可正确解题．