Question

16．如图所示，在xOy平面内有磁感应强度为B的匀强磁场，其中x＜0区域无磁场、在0＜x＜a区域的磁场方向垂直xOy平面向里、在x＞a区域的磁场方向垂直xOy平面向向外． 一质量为m、带电量为+q的粒从坐标原点O处以一定的速度沿x轴正方向射入磁场．
（1）若该粒子恰好过点（a，（$\sqrt{2}$-1）a），则粒子的速度为多大；
（2）在满足（1 ）的情况下，粒子从磁场中射出时距原点O的距离；
（3）若粒子从O点入射的速度大小已知，且无（1）中条件限制，为使粒子能够回到原点O，则a应取何值．

Answer 1

分析 （1）根据粒子运动轨迹上点的两个点，由几何关系求得半径R，然后根据洛伦兹力做向心力求得速度；
（2）根据（1）中运动半径，求得粒子运动轨迹，然后由几何关系求得距离；
（3）由粒子可以回到O点根据几何关系求得机子在0～a转过的中心角，进而得到半径，从而根据洛伦兹力做向心力求得半径联立求得a．

解答 解：（1）粒子恰好过点（a，（$\sqrt{2}$-1）a），故由几何关系可得：${R}^{2}={a}^{2}+[R-（\sqrt{2}-1）a]^{2}$，所以，$R=\sqrt{2}a$；
由粒子在磁场中运动，洛伦兹力做向心力，即$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$可得：$v=\frac{BqR}{m}=\frac{\sqrt{2}Bqa}{m}$；
（2）由（1）可知，粒子运动轨迹如图所示，，故$∠{P}_{1}{O}_{1}O=arcsin\frac{a}{R}=45°$，所以，O₂的纵坐标为$-Rsin45°+（\sqrt{2}-1）a$=$（\sqrt{2}-2）a$；
那么，O₃的纵坐标为$（\sqrt{2}-2）a-2Rsin45°=（\sqrt{2}-4）a$，所以，P₃的纵坐标为$（\sqrt{2}-4）a+R=（2\sqrt{2}-4）a$，
所以，在满足（1 ）的情况下，粒子从磁场中射出时距原点O的距离$d=0-（2\sqrt{2}-4）a=（4-2\sqrt{2}）a$；
（3）若粒子从O点入射的速度大小已知，且无（1）中条件限制，为使粒子能够回到原点O，那么由粒子运动轨迹关于过O₂的水平线对称可知O₂在x轴上，
那么，粒子过x=a上P₁点的坐标为$\frac{1}{2}R$，所以，$a=\frac{\sqrt{3}}{2}R=\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2Bq}$；
答：（1）若该粒子恰好过点（a，（$\sqrt{2}$-1）a），则粒子的速度为$\frac{\sqrt{2}Bqa}{m}$；
（2）在满足（1 ）的情况下，粒子从磁场中射出时距原点O的距离为$（4-2\sqrt{2}）a$；
（3）若粒子从O点入射的速度大小已知，且无（1）中条件限制，为使粒子能够回到原点O，则a为$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2Bq}$．

点评 带电粒子在磁场中的运动问题，一般由牛顿第二定律求得半径，然后根据几何关系求得半径再联立求解．