Question

如图所示，质量为m、电荷量为+q的小球（视为质点）通过长为L的细线悬挂于O点，以O点为中心在竖直平面内建立直角坐标系xOy，在第2、3象限内存在水平向左的匀强电场，电场强度大小为E=

mg

q

 （式中g为重力加速度）．
（1）把细线拉直，使小球在第4象限与x正方向成θ角处由静止释放，要使小球能沿原路返回至出发点，θ的最小值为多少？
（2）把细线拉直，使小球从θ=0°处以初速度v₀竖直向下抛出，要使小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，则v₀的最小值为多少？

Answer 1

分析：（1）使小球能沿原路返回至出发点，由E=

mg

q

，可知重力与电场力相等，合力方向与x轴成45°，所以恰摆到与x轴负向成45°角对应的θ即为最小．，由动能定理可求解
（2）判断出小球在竖直平面内做完整的圆周运动的条件是θ=0°，由动能定理和牛顿第二定律可求解．

解答：解：（1）要使小球释放后能沿原路返回，则小球释放后最多只能摆至第二象限细线与x轴负向成45°角处（由重力与电场力的合力方向决定）．恰摆到与x轴负向成45°角对应的θ即为最小．
对这一过程用动能定理：qElcos45°-mg（Lsinθ+Lsin45°）=0-0      
解之得：θ=0°                                             
（2）要使小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，只需要让小球从θ=0° 处出发能沿半径为L的圆周通过y轴最高点即可．设通过y轴最高点时小球速度为v
对这一过程用动能定理（电场力做功为零）：-mgL═

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

 
在最高点由牛顿第二定理可得：mg=

mv2

L

                              
联立解得：v₀=

3gL

答：（1）θ的最小值为0°
（2）v₀的最小值为

3gL

．

点评：本题考查带电粒子在电场中的运动，关键是分析题目中的临界条件，利用动能定理解题．