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    4．两根足够长的光滑平行直导轨MN、PQ与水平面成θ角放置，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m、阻值为R的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上，导轨和金属杆接触良好，导轨的电阻不计．现让ab杆由静止开始沿导轨下滑．
    （1）求ab杆下滑的最大速度vm；
    （2）ab杆由静止释放至达到最大速度的过程中，电阻R产生的焦耳热为Q，求该过程中ab杆下滑的距离x及通过电阻R的电量q．

    分析 （1）在分析杆的运动时，注意由于杆的速度逐渐变大因此安培力将逐渐变大，所以杆从导轨上做加速度逐渐减小的加速运动，当安培力等于重力沿导轨分力时匀速运动，同时速度达到最大．
    （2）杆下滑过程中，重力势能减小转化为电路中的焦耳热和杆的动能，因此根据功能关系可求出ab杆下滑的距离x；根据法拉第电磁感应定律求出平均电流，然后根据q=It即可求出电量．

    解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律、安培力公式 有：
    感应电动势为：E=BLv
    感应电流为：$I=\frac{E}{2R}$
    ab杆所受的安培力为：FA=BIL
    由牛顿第二定律有：mgsinθ-FA=ma
    即：$mgsinθ-\frac{{{B^2}{L^2}v}}{2R}=ma$
    当加速度a为零时，速度v达最大，速度最大值为：${v_m}=\frac{2mgRsinθ}{{{B^2}{L^2}}}$
    （2）根据能量守恒定律有：$mgxsinθ=\frac{1}{2}m{v_m}^2+2Q$
    得：$x=\frac{2Q}{mgsinθ}+\frac{{2{m^2}{R^2}gsinθ}}{{{B^4}{L^4}}}$
    根据电磁感应定律有：$\overline E=\frac{△φ}{△t}$
    根据闭合电路欧姆定律有：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{2R}$
    感应电量为：$q=\overline I△t$=$\frac{△Φ}{2R}$=$\frac{BLx}{2R}$
    得：q=$\frac{BLQ}{mgRsinθ}$+$\frac{{m}^{2}Rgsinθ}{{B}^{3}{L}^{3}}$
    答：
    （1）ab杆下滑的最大速度vm是$\frac{2mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
    （2）该过程中ab杆下滑的距离x是$\frac{2Q}{mgsinθ}$+$\frac{2{m}^{2}{R}^{2}gsinθ}{{B}^{4}{L}^{4}}$，通过电阻R的电量q是$\frac{BLQ}{mgRsinθ}$+$\frac{{m}^{2}Rgsinθ}{{B}^{3}{L}^{3}}$．

    点评 对于电磁感应的综合问题，要做好电流、安培力、运动、功能关系这四个方面的分析，熟练推导出安培力与速度的关系，以及感应电荷量与磁通量变化量的关系．

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