Question

（2013?河南模拟）如图所示，用细圆管组成的光滑轨道AB部分水平，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径r＜R （计算时可忽略不计）．有一质量为m，半径比r略小的光滑小球以水平初速度v₀=2

gR

从A处射入圆管．求
（1）小球运动到C点时的动能；
（2）小球在B点时所受圆轨道的支持力N_B；
（3）小球运动到离水平轨道的高度为

1

2

R时速度的大小和方向．

Answer 1

分析：（1）对于小球，从A到C过程，由机械能守恒可求得运动到C点时的动能；
（2）小球在C点，由重力和管子的作用力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解圆轨道的支持力N_B；
（3）从A到离水平轨道的高度为

1

2

R时，根据机械能定律求解速度的大小和方向．

解答：解：（1）对于小球，从A到C过程，由机械能守恒可得：

1

2

m

v

2 0

=mg2R+E_KC  ①
 由题意，v₀=2

gR

解得，E_KC=0  ②
（2）小球在C点受重力mg和细管竖直向上的作用力N，根据牛顿第二定律，
得：N_B-mg=

m v 2 0

R

  ③
由②、③解得：N_B=5mg
（3）设所求速度为v_D，由机械能守恒可得：

1

2

m

v

2 0

=mg

1

2

R+

1

2

m

v

2 D

解得，v_D=

3gR

，方向沿圆弧切线向上，与水平成60°．
答：
（1）小球运动到C点时的动能为0；
（2）小球在B点时所受圆轨道的支持力N_B为5mg．
（3）小球运动到离水平轨道的高度为

1

2

R时速度的大小为

3gR

，方向沿圆弧切线向上，与水平成60°．

点评：本题是圆周运动动力学与机械能守恒定律的综合应用，它们之间的桥梁是速度．