Question

2．在竖直平面内，以虚线为界分布着如图所示的匀强电场和匀强磁场，其中匀强电场的方向竖直向下，大小为E；匀强磁场的方向垂直纸面向外，大小为B，虚线与水平线之间的夹角为θ=45°．一个带正电的粒子质量为m，电量为q，从O点以速度v₀水平射入匀强磁场，当第一次从磁场区域经虚线进入电场时（此时作为第一次经过虚线）设法使该带电粒子的电量不变，电性相反．（粒子重力忽略不计，电场、磁场区域足够大）．试求：
（1）带电粒子第1次通虚线时距O点的距离；
（2）带电粒子从O点开始到第3次通过虚线时所经历的时间；
（3）若带电粒子第4次通过虚线时要被放在虚线处的粒子回收装置回收（该装置不考虑大小），则该回收装置放在距O点的距离．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在磁场中受到洛伦兹力作用做匀速圆周运动，画出轨迹，由牛顿第二定律求出轨迹半径，由几何知识求出电粒子第1次通过虚线时距O点的距离．
（2）根据轨迹，确定出带电粒子在磁场中轨迹对应的圆心角，求出时间．在电场中，由牛顿第二定律和运动学公式结合求出时间，即可得到总时间．
（3）带电粒子第3次通过虚线进入电场时做类平抛运动，由运动学公式求出粒子第4次通过虚线时距O点的距离．

解答 解：（1）设第一次到虚线位置为A点，距离O点距离为x，
由牛顿第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
由几何关系得：x=$\sqrt{2}$r=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$；
（2）由（1）知第一次过虚线时在磁场中转过的圆心角度为90°，速度的方向竖直向下，
在磁场运动时间为：t₁=$\frac{1}{4}$T=$\frac{πm}{2qB}$，
在电场中先减速到零之后反向加速第二次过虚线上同一位置A点，
在电场运动的时间为：t₂=$\frac{2{v}_{0}}{a}$=$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$，
再次进入磁场时电性相反，电量不变，时间：t₃=t₁=$\frac{πm}{2qB}$，
所以总时间：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{πm}{qB}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$；
（3）如图，第3次过虚线时速度水平向左，大小仍为v₀，在电场中做类平抛运动．
水平方向：x=v₀t，竖直方向：y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，解得：x=$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{qE}$，
即：x_OB=$\sqrt{2}$x=$\frac{2\sqrt{2}m{v}_{0}^{2}}{qE}$；
答：（1）带电粒子第1次通虚线时距O点的距离为$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$；
（2）带电粒子从O点开始到第3次通过虚线时所经历的时间为$\frac{πm}{qB}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$；
（3）该回收装置放在距O点的距离：$\frac{2\sqrt{2}m{v}_{0}^{2}}{qE}$．

点评 本题的解题关键是画出轨迹，根据几何知识求出距离与半径，确定轨迹的圆心角，计算时间与周期的关系．