Question

7．如图所示，为一透明材料做成的半圆柱形光学元件的横截面，该透明材料的折射率为n=$\sqrt{2}$，半径R=0.5m，让一细光束垂直于AB边界射入该光学元件中，要求光线经半圆面全反射后能垂直AB面射出，求：
（Ⅰ）入射点距离圆心O的最小距离L；
（Ⅱ）当入射点到圆心O的距离x在0＜x＜L的范围内变化时，求第一次从半圆面出射光线的折射角θ与x之间的关系．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先根据公式sinC=$\frac{1}{n}$求出全反射临界角C．光束垂直于AB边界射入该光学元件中经半圆面全反射后能垂直AB面射出，入射角等于临界角，再由几何知识求L．
入射点距离圆心O的最小距离L；
（Ⅱ）当入射点到圆心O的距离x在0＜x＜L的范围内变化时，作出光路图，由折射定律求第一次从半圆面出射光线的折射角θ与x之间的关系．

解答 解：（Ⅰ）设光线全反射临界角为C，则 sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
则 C=45°
如图所示，要使光线垂直于AB面射出，则入射角应为45°，故入射点距离圆心O的最小距离 L=Rsin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R=$\frac{\sqrt{2}}{4}$m
（Ⅱ）当0＜x＜L时，设光线的入射角为θ′，有 θ′＜45°
由折射定律有
  $\frac{sinθ}{sinθ′}$=n
由几何关系有 sinθ′=$\frac{x}{R}$
故sinθ=2$\sqrt{2}$x
答：
（Ⅰ）入射点距离圆心O的最小距离L是$\frac{\sqrt{2}}{4}$m；
（Ⅱ）第一次从半圆面出射光线的折射角θ与x之间的关系是sinθ=2$\sqrt{2}$x．

点评 本题考查几何光学，掌握光的折射定律以及临界角与折射率的大小关系，正确画出光路图是关键．