Question

3．竖直平面内有两竖直放置的不计电阻的光滑导轨，间距l=1m，导轨上端接电阻R，导轨间分布着如图所示的磁场，aa′、bb′之间无磁场，高度差为h_l=0.2m，bb′、cc′之间有磁场，磁感应强度为B₁=lT，高度差也为h_l=0.2m，cc′、dd′之间无磁场，高度差为h₂=3m，dd′下方有磁场B₂，一质量m=0.1kg的不计电阻的导体棒从aa′位置静止释放，进入磁场B₁区域刚好匀速运动，整个过程导体棒始终保持水平且和导轨接触良好，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）导体棒刚进入磁场B₁时的速度v₁；
（2）定值电阻R的阻值：
（3）要使导体棒刚进入B₂区域也匀速，磁感应强度B₂为多大．

Answer 1

分析 （1）导体棒在进入磁场B₁前做自由落体运动，由速度位移关系公式求v₁．
（2）导体棒进入磁场B₁区域刚好匀速运动，重力与安培力平衡，由平衡条件可求解R的阻值．
（3）由运动学公式求出导体棒刚进入B₂区域时的速度，再由平衡条件求解B₂．

解答 解：（1）导体棒在进入磁场B₁前做自由落体运动，则导体棒刚进入磁场B₁时的速度为：
v₁=$\sqrt{2g{h}_{1}}$=$\sqrt{2×10×0.2}$m/s=2m/s
（2）导体棒进入磁场B₁区域刚好匀速运动，受力平衡，则有：
mg=B₁I₁l
又I₁=$\frac{{B}_{1}l{v}_{1}}{R}$
联立得：R=$\frac{{B}_{1}^{2}{l}^{2}{v}_{1}}{mg}$=$\frac{{1}^{2}×{1}^{2}×2}{1}$Ω=2Ω
（3）设导体棒刚进入B₂区域时的速度为v₂．
由${v}_{2}^{2}$${v}_{1}^{2}$=2gh₂得：v₂=$\sqrt{{v}_{1}^{2}+2g{h}_{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+2×10×3}$m/s=8m/s
要使导体棒刚进入B₂区域匀速运动，受力必须平衡，则有：
mg=B₂I₂l=$\frac{{B}_{2}^{2}{l}_{\;}^{2}{v}_{2}}{R}$
得：B₂=$\frac{1}{l}$$\sqrt{\frac{mgR}{{v}_{2}}}$=$\frac{1}{1}×$$\sqrt{\frac{0.1×10×2}{8}}$T=0.5T
答：（1）导体棒刚进入磁场B₁时的速度v₁为2m/s．
（2）定值电阻R的阻值为2Ω：
（3）要使导体棒刚进入B₂区域也匀速，磁感应强度B₂为0.5T．

点评 解决本题的关键是推导出安培力与速度的关系式，运用电磁感应和力学基本规律解答．