Question

19．如图所示．水平传送装置由轮半径均为R=$\frac{1}{π}$米的主动轮O₁和从动轮O₂及传送带等构成．两轮轴心相距L=8.0米，轮与传送带不打滑．现用此装置运送一袋面粉，已知面粉袋与传送带间的动摩擦因数为μ=0.4，这袋面粉中间的面粉可不断地从袋中渗出．
（1）当传送带以v₀=4.0m/s的速度匀速运动时，将这袋面粉由左端O₂正上方的A点轻放在传送带上后，这袋面粉由A端运送到O₁正上方的B端所用时间为多少？
（2）要想尽快将这带面粉由A端送到B端（设初速度仍为零），传送带的速度至少应为多大？
（3）由于面粉的渗漏，在运送这袋面粉的过程中会在深色传送带上留下白色的面粉的痕迹．这袋面粉在传送带上留下的痕迹最长能有多长（设袋的初速度仍为零）？此时传送带的速度至少应为多大？

Answer 1

分析 （1）面粉在传送带上先做匀加速直线运动，当速度达到传送带速度一起做匀速直线运动，结合牛顿第二定律和运动学公式求出面粉由A端运送到Q₁正上方的B端所用的时间．
（2）要想时间最短，面粉袋应一直向B端做加速运动，根据运动学公式求出传送带的最小速度，从而根据v=ωR=2πnR求出主动轮Q₁的转速的最小值．
（3）传送带的速度越大，“痕迹”越长．当面粉的痕迹布满整条传送带时，痕迹达到最长．痕迹的长度等于相对路程的大小，通过面粉袋的位移求出传送带的位移，通过时间求出主动轮的最小速度，从而求出转速的最小值．

解答 解：设面粉袋的质量为m，其在与传送带产生相当滑动的过程中所受的摩擦力f=μmg．故而其加速度为：
a=$\frac{f}{m}$=μg=4.0m/s²
（1）若传送速带的速度v_带=4.0m/s，则面粉袋加速运动的时间：${t}_{1}=\frac{{v}_{带}}{a}=\frac{4.0}{4.0}=1.0$s，
在t₁时间内的位移为：${s}_{1}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×4.0×{1}^{2}=2.0$m，
其后以v=4.0m/s的速度做匀速运动s₂=l_AB-s₁=vt₂，
解得t₂=1.5s，
运动的总时间为t=t₁+t₂=2.5s
（2）要想时间最短，m应一直向B端做加速运动，由${l}_{AB}=\frac{1}{2}at{′}^{2}$
代入数据可得：t′=2.0s
此时传送带的运转速度为：v′=at′=4.0×2.0=8.0m/s
（3）传送带的速度越大，“痕迹”越长．当面粉的痕迹布满整条传送带时，痕迹达到最长．即痕迹长为△s=2l+2πR=18.0m
在面粉袋由A端运动到B端的时间内，传送带运转的距离 s_带=△s+l_AB=18.0=8.0=26.0m
传送带的速度至少应为${v}_{2}=\frac{{s}_{带}}{t}=\frac{26}{2.0}=13.0$m/s
答：（1）当传送带以v₀=4.0m/s的速度匀速运动时，将这袋面粉由左端O₂正上方的A点轻放在传送带上后，这袋面粉由A端运送到O₁正上方的B端所用时间为2.5s；
（2）要想尽快将这带面粉由A端送到B端（设初速度仍为零），传送带的速度至少应为8.0m/s；
（3）由于面粉的渗漏，在运送这袋面粉的过程中会在深色传送带上留下白色的面粉的痕迹．这袋面粉在传送带上留下的痕迹最长能有18.0m；传送带的速度至少应为13.0m/s．

点评 该题属于典型的传送带问题，解决本题的关键是理清 面粉袋在传送带上的运动规律，抓住临界情况，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，难度中等．