Question

7．用质量为m、电阻为R的均匀导线做成多边形线框，各条边长如图甲所示．将线框置于光滑绝缘的水平面上，在线框的右侧存在竖直方向的有界匀强磁场，磁场边界间的距离为L，磁感应强度为B．在垂直于MN边的水平拉力作用下，线框以垂直磁场边界的速度v匀速穿过磁场．在运动过程中线框平面水平，且MN边与磁场的边界平行．求：
（1）线框MN边刚进入磁场时，M、N两点间的电压U_MN；
（2）以线框MN边刚进入磁场时为计时起点，在图乙的坐标系中画出线框在穿越磁场的过程中感应电流随时间变化的关系图象（规定电流逆时针方向为正方向）；
（3）线框在穿越磁场的过程中，水平拉力对线框所做的功W．

Answer 1

分析 （1）线圈在磁场中运动切割磁感线而产生感应电流；由右手定则可得出电流方向，由E=BLv可求出电动势，由闭合电路的欧姆定律求出电流，然后由欧姆定律求出电压；
（2）由E=BLv可求出电动势，由闭合电路欧姆定律可求得电流的变化；
（3）由安培力的公式求出安培力，然后由W=Fx求出拉力做的功；最后求和即可．

解答 解：（1）当线框右边开始切割磁感线，由右手定则可知，M点的电势比N点的电势高；
产生E=BLv的电动势，电路中电流I=$\frac{BLv}{R}$；
由几何关系可知，该多边形的总边长为8L，所以MN部分的电阻值为：r=$\frac{R}{8}$，其余的部分：$r′=\frac{7}{8}R$
此时MN两侧的电压：${U}_{MN}=I•r′=\frac{BLv}{R}•\frac{7}{8}R=\frac{7}{8}BLv$
（2）由右手定则可知，开始时电流的方向为正；
当线圈向右运动L时，线框的右上边均切割磁感线，电动势仍然是：E=BLv，所以电流仍然是I；
向右再运动L时，线框左边切割磁感线，由右手定则可知电流反向，电动势：E′=2BLv，
此时电流的方向反向，电流：I′=$\frac{2BLv}{R}$；
规定电流逆时针方向为正方向，线框在穿越磁场的过程中感应电流随时间变化的关系图象如图；

（3）线圈左匀速直线运动，所以拉力的大小等于安培力的大小，在0-2L的过程中：
${F}_{1}=BIL=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
拉力做的功：${W}_{1}={F}_{1}•2L=\frac{2{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$
此时电流的方向反向，电流I′=$\frac{2BLv}{R}$；
在2L-3L过程中：
${F}_{21}=BI′L=\frac{{2B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
拉力做的功：${W}_{2}={F}_{2}L=\frac{2{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$
所以拉力做的总功：W=W₁+W₂=$\frac{4{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$
答：（1）线框MN边刚进入磁场时，M、N两点间的电压是$\frac{7}{8}BLv$；
（2）线框在穿越磁场的过程中感应电流随时间变化的关系图象如图；
（3）线框在穿越磁场的过程中，水平拉力对线框所做的功是$\frac{4{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$．

点评 电磁感应与图象结合的题目，应注意一些关键位置，找出转折点是分析解答的关键．