Question

如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求:

（1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
（2）金属棒的速度大小随时间变化的关系。

Answer 1

（1）
（2）

（1）设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为 E=BLv  ①
平行板电容器两极板的电压为U，U=E      ②
设此时电容器极板上储存的电荷为Q，按定义有
  ③
联立①②③式解得 ④
（2）设金属棒下滑的速度大小为v时经历的时间为t,通过金属棒的电流为i，金属棒受到磁场的安培力为F，方向沿导轨向上，大小为F="BLi"  ⑤
设在t～t+时间间隔内流经金属棒的电荷量为，按定义有 ⑥
也是平行板电容器两极板在t～t+时间间隔内增加的电荷量
由④式可得 ⑦ 式中为金属棒速度的变化量
按加速度的定义有 ⑧
分析导体棒的受力：受重力mg，支持力N，滑动摩擦力f，沿斜面向上的安培力F。
N=mgcos⑨  ⑩(11)
联立⑤至(11)式得(12)
由(12)式及题设可知,金属棒做初速为零的匀加速直线运动,t时刻金属棒下滑的速度大小为v
    (13)
【易错点拨】本题关键是通过牛顿第二定律的求解得出加速度的表达式是一个与时间无关的物理量，导体棒做匀加速直线运动，这一问题考生不容易分析出来，造成该题不容易得分。具体分析：首先要由感应电动势和电容的定义式求解速度大小为v时电容器极板上储存的电荷Q，这一问不难，考生较容易解出；其次列牛顿第二定律方程，正确的解出加速度是一个恒量，即金属棒做初速为零的匀加速直线运动v=at解出本题的答案，这一问考生对电流的定义，加速度的定义的理解有一定的局限性，高中阶段不变的情况较多，用微积分的思想求解的练习题较少，所以大多数考生这一问不能得分，难度（1）中等，（2）难。
【考点定位】牛顿第二定律、导线切割磁感线产生感应电动势、电容器定义式、电流定义式、加速度定义式、感应电流、安培力。