Question

如图所示，半径为R的半圆形磁场区域内（含半圆形边界）有垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，位于O点的粒子源可向磁场区域内垂直磁场的各个方向以相等速率连续发射质量为m、电荷量为q的正粒子，粒子重力不计．求：

　 （1）要使所有粒子均不会从磁场圆弧边界ACD射出磁场，粒子的速率应满足的条件：

　 （2）若与x轴正方向成60?夹角射出的粒子恰好从D点离开磁场，求以此速度进入磁场的粒子在磁场内通过的区域面积与磁场区域总面积的比值．

Answer 1

（1）粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力

                              ①

 据题意由几何关系得：             ②

       解得：                   ③        

（2）与x轴正方向成60°夹角射出的粒子，其运动轨迹如图甲所示，设其运动的轨道半径为r2，则据几何关系可得：

                    ④

    解得：              ⑤

    沿x轴负方向射出的粒子，其圆心在y轴正方向上，半径为r2，其运动轨迹如图乙所示，轨迹方程可表示为：

              

     磁场边界的方程为：

                

若粒子从F点射出磁场，可得其坐标为，则   

       ⑥

粒子在磁场中通过的面积应为圆弧OF与直线OF围成的面积与扇形OFD的面积之和，设其为S1，则

               ⑦

    磁场区域的面积：

                  ⑧

    解得：       ⑨

评分标准：本题共18分。（1）问5分。正确得出①、②式各给2分，③式给1分。（2）问13分。正确得出④、⑦、⑧、⑨式各给2分，⑤式1分，⑥式4分。