Question

8．已知地球的质量M，万有引力常量G，地球卫星m围绕地球做圆周运动，轨道半径为r，求卫星的：
（1）加速度a：
（2）线速度v；
（3）角速度ω；
（4）周期T；
（5）动能E_k；
（6）随r减小，a，v，ω，T，E_k分别怎样变化？
（7）求a，v，ω，T，E_k的极值．

Answer 1

分析 卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律列出等式表示出加速度、线速度、角速度、周期和动能，根据物理量的表达式判断与r的关系．

解答 解：已知地球的质量M，万有引力常量G，地球卫星m围绕地球做圆周运动，轨道半径为r，
卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得
F=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r=ma=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
（1）加速度a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$
（2）线速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
（3）角速度ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$
（4）周期T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，
（5）动能E_k=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{GmM}{2r}$
（6）随r减小，a增大，v增大，ω增大，T减小，E_k增大，
（7）设地球半径为R，
a的最大值是$\frac{GM}{{R}^{2}}$，v的最大值是$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，ω的最大值是$\sqrt{\frac{GM}{{R}^{3}}}$，T的最小值是$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$，E_k的最大值是$\frac{GmM}{2R}$，
答：（1）加速度a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$；（2）线速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$；（3）角速度ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$
（4）周期T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$；（5）动能E_k=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{GmM}{2r}$；（6）随r减小，a增大，v增大，ω增大，T减小，E_k增大，
（7）a的最大值是$\frac{GM}{{R}^{2}}$，v的最大值是$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，ω的最大值是$\sqrt{\frac{GM}{{R}^{3}}}$，T的最小值是$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$，E_k的最大值是$\frac{GmM}{2R}$．

点评 本题考查了求卫星的线速度、周期、角速度、向心加速度，应用万有引力定律、牛顿第二定律即可正确解题．