Question

5．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．如图，两颗工作卫星1、2均绕地心做顺时针方向的匀速圆周运动，轨道半径为r，某时刻分别位于同一圆轨道上的A、B两位置．已知地球表面附近的重力加速度为g，地球半径为R．下列正确的是（　　）

• A． 卫星1加速也不可能追上卫星2
• B． 卫星1由位置A运动到位置B所需时间为$\frac{π}{3}\sqrt{\frac{r^3}{{g{R^2}}}}$
• C． 卫星1、2的万有引力一定相等
• D． 卫星1由位置A运动到位置B的过程中万有引力做正功

Answer 1

分析 卫星做圆周运动，由万有引力提供向心力，列式得到加速度和周期的表达式，分析加速度的关系，由运动学公式求解卫星1由位置A运动到位置B所需的时间；当卫星在引力方向上没有位移时引力不做功．

解答 解：A、卫星1加速，所需要的向心力增大，而万有引力不变，卫星将做离心运动，轨道半径增大，不可能追上卫星2，故A正确；
B、在地球表面重力与万有引力相等有$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$可得GM=gR²
对于卫星万有引力提供圆周运动向心力有：$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得卫星的周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，卫星1由A运动B所需时间$t=\frac{60°}{360°}T=\frac{π}{3}\sqrt{\frac{{r}^{3}}{g{R}^{2}}}$，故B正确；
C、由于卫星甲1和卫星2的质量不一定相等，所以地球对两颗卫星的万有引力大小不一定相等，故C错误；
D、因卫星受到的万有引力与速度垂直，故万有引力不做功，D错误．
故选：AB．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力，以及重力等于万有引力，运用万有引力定律和圆周运动的规律结合列式分析．