Question

3．如图所示，一足够长的斜面倾斜角度为45°，现有一个质量为0.4kg，带电荷量q=+1.0×10^-5C的小球以初速度v₀=5m/s从斜面上A点竖直向上抛出．已知斜面所在的整个空间存在水平向右的匀强电场，电场强度为E=3×10⁵N/C，重力加速度g=10m/s²．试求：
（ 1 ）小球在空中运动过程中速度的最小值v_min；
（ 2 ）小球相对A所在水平面上升的最大高度H和小球再次落到与A在同一水平面的B点（图上未标出）时，小球距离A点的距离L_AB；
（ 3 ）小球再次落到斜面上时，速度方向与水平向右电场方向夹角的正切值．
（ 4）小球在空中运动过程中距离斜面最远的距离d．

Answer 1

分析 （1）依据矢量的合成法则，结合三角知识，即可求解；
（2）小球在竖直方向做匀减速直线运动，在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，应用匀变速直线运动运动规律求出上升的最大高度与两点间的水平距离．
（3）小球向下运动过程在竖直方向做自由落体运动，在水平方向做匀加速直线运动，应用匀变速直线运动规律分析答题；
（4）依据运动的合成与分解，结合运动学公式，及当垂直斜面方向（即y方向）速度为0时，物体距离斜面距离最远，即可求解．

解答 解：（1）将速度沿着合力方向与垂直合力方向进行分解，当沿着合力方向的速度为0时，合速度最小，为：
v_min=v₀cos53°=3m/s
（2）小球在水平方向做匀加速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动．分析可知：
H=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$=1.25m
由于竖直方向上升过程与下落过程具有对称性有：
t_上=$\frac{{v}_{0}}{g}$=0.5s
t_AB=2t_上=1s
L_AB=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t${\;}_{AB}^{2}$=3.75m
（3）小球在竖直方向上做竖直上抛运动，沿电场线方向做匀加速直线运动，落在斜面上，则有：
tan45°=$\frac{y}{x}$=$\frac{{v}_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^{2}}{\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}^{2}}$，
速度方向与电场方向夹角的正切值：tanθ=$\frac{{v}_{0}-gt}{\frac{qE}{m}t}$，
解得：t=4s，tanθ=$\frac{7}{6}$；
（4）将小球的速度和合力沿着斜面与垂直斜面分解，
则可知：
v_x0=v₀cos45°=$\frac{5\sqrt{2}}{2}m/s$
v_y0=v₀sin45°=$\frac{5\sqrt{2}}{2}m/s$
a_x=$\frac{{F}_{合}cos（53°-45°）}{m}$=$\frac{35\sqrt{2}}{4}$m/s² ；
a_y=$\frac{{F}_{合}sin（53°-45°）}{m}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}m/{s}^{2}$
当垂直斜面方向（即y方向）速度为0时，物体距离斜面距离最远；则有：
t₀=$\frac{{v}_{y0}}{{a}_{y}}=2s$
d_max=$\frac{{v}_{y0}^{2}}{2{a}_{y}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}m$
答：（ 1 ）小球在空中运动过程中速度的最小值3m/s；
（ 2 ）小球相对A所在水平面上升的最大高度H和小球再次落到与A在同一水平面的B点（图上未标出）时，小球距离A点的距离3.75m；
（ 3 ）小球再次落到斜面上时，速度方向与水平向右电场方向夹角的正切值$\frac{7}{6}$．
（ 4）小球在空中运动过程中距离斜面最远的距离$\frac{5\sqrt{2}}{2}m$．

点评 小球在竖直方向做匀减速直线运动，在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，分析清楚小球运动过程、应用运动合成与分解方法是解题的关键，应用运动学公式可以解题．