Question

如图所示，在空中A点将质量为m=0.1kg的小球以某一水平速度抛出，将无碰撞地由B点进入竖直平面内半径R=

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m的内壁光滑圆管弧形轨道，然后经最低点C无能量损失地进入足够长光滑水平轨道，与另一静止的质量为M=0.3kg小球发生碰撞并粘连在一起（不再分开）压缩弹簧，弹簧左端与小球M栓接，弹簧右端与固定挡板栓接．已知圆管的直径远小于轨道半径R且略大于小球直径，OB和竖直方向之间的夹角α=37°，A点与B点的竖直高度差h=0.45m，弹簧始终在弹性限度内，g=10m/s²．求：
（1）小球在A点抛出的水平初速度v₀．
（2）小球运动到最低点C时，小球对轨道的压力F_N的大小（结果保留一位有效数字）
（3）弹簧压缩过程中，弹簧具有的最大弹性势能E_p
（4）若只将弹簧右侧栓接的挡板改为栓接一个质量为M′=0.4kg的光滑小球，水平轨道足够长，其它条件保持不变，则三个小球在整个运动和相互作用过程中小球M′第二次达到最大速度时，小球M的速度是多少？

Answer 1

分析：1、小球在A点抛出做平抛运动，根据平抛运动规律求解；
2、小球由B点运动到C点的过程中，根据机械能守恒求出在C点速度，根据牛顿第二定律和牛顿第三定律求解；
3、两球相碰根据动量守恒，两球一起压弹簧到最短的过程中，当两球速度为零时，弹性势能最大，根据能量守恒求解；
4、根据动量守恒守恒和机械能守恒列出等式求解．

解答：解：（1）设小球运动到B点时的竖直速度为v_y，根据运动学规律得：

v

2 y

=2gh   ①
在B点时，根据速度关系得
tanα=

vy

v0

                  ②
综合①、②并代入已知得
v₀=4m/s                ③
（2）小球在B点时的速度
v_B=

v 2 0 +v 2 y

            ④
小球由B点运动到C点的过程中，根据机械能守恒有

1

2

m

v

2 C

=

1

2

m

v

2 B

+mgR（1+cosα）             ⑤
在C点，根据牛顿第二定律有
F_N-mg=m

v 2 C

R

  ⑥
由④、⑤、⑥式，并代入已知得F_N=7N    ⑦
根据牛顿第三定律得小球对轨道的压力为7N
（3）两球相碰根据动量守恒，规定初速度方向为正方向，
mv_C=（m+M）v          ⑧
两球一起压弹簧到最短的过程中，当两球速度为零时，弹性势能最大，
根据能量守恒得

1

2

（m+M）v²=E_p  ⑨
由⑧、⑨式，并代入已知得E_p=0.8J
（4）三个小球在整个运动和相互作用过程中小球M′第二次达到最大速度时，该状态时弹簧处于原长，规定初速度方向为正方向，
根据动量守恒守恒列式：
（m+M）v=（m+M）v₁+M′v₂
根据机械能守恒列出等式：

1

2

（m+M）v²=

1

2

（m+M）

v

2 1

+

1

2

M′

v

2 2

                       
列式解方程组得，v₂=v，v₁=0
所以当小球M′第二次达到最大速度时，小球M的速度是0．        
答：（1）小球在A点抛出的水平初速度是4m/s．
（2）小球运动到最低点C时，小球对轨道的压力F_N的大小是7N．
（3）弹簧压缩过程中，弹簧具有的最大弹性势能是0.8J
（4）三个小球在整个运动和相互作用过程中小球M′第二次达到最大速度时，小球M的速度是0．

点评：该题为平抛运动与圆周运动的结合的综合题，知道平抛运动的规律和牛顿第二定律求解得思路．
解决该题关键是掌握碰撞过程两球系统机械能守恒，动量也守恒，列出等式求解．