Question

如图所示，光滑曲面AB与水平地面BC相切于B，竖直光滑半圆轨道CD与水平地面BC切于C，已知圆轨道半径为R，BC长为4R，且表面粗糙，一滑块从AB轨道上距地面4R高度处由静止释放，之后能够通过圆轨道的最高点D，且对D处的压力为0，求：
（1）若从曲面上距地2R高度处无初速释放滑块，滑块将停在何处；
（2）若使滑块通过D处后水平抛出，刚好击中地面上的B点，应从AB轨道上离地面多高处由静止释放滑块．

Answer 1

分析：（1）小球从A到D的过程中重力和摩擦力做功，可以得出动能定律的方程；能够通过圆轨道的最高点D，且对D处的压力为0，得出重力恰好提供向心力的方程，从而求得BC段上的摩擦因数；然后设从2R处释放后滑块将运动到圆周上h高出，求出h，最后的过程中机械能全部转化为内能；
（2）小球从D点飞出做平抛运动，根据高度求出运动的时间，再根据水平位移和时间求出平抛运动的初速度；由释放到运动到D的过程中重力和电场力做功，从而求得释放点的高度．

解答：解：（1）小球从A到D的过程中重力和摩擦力做功，设摩擦因数为μ，则：
4mgR-4μmgR-2mgR=

1

2

mv2  ①
在D点：mg=

mv2

R

   ②
代入数据解得：μ=0.375
从2R处释放后滑块将运动到圆周上h高出，则有：2mgR-4μmgR-mgh=0③
代入数据解得：h=0.5R
滑块将沿水平轨道向左滑动x减速到0，由：mgh-μmgx=0
代入数据解得：x=

4

3

R；
（2）要使滑块击中B，则从D出平抛的速度v₁满足：4R=v₁t   ④
2R=

1

2

gt2⑤
由释放到运动到D的过程中有：mgH-4μmgR-2mgR=

1

2

m

v

2 1

代入数据解得：H=5.5R；
答：（1）若从曲面上距地2R高度处无初速释放滑块，滑块将停在何处里左边

4

3

R处；
（2）若使滑块通过D处后水平抛出，刚好击中地面上的B点，应从AB轨道上离地面5.5R处由静止释放滑块．

点评：解决本题的关键理清运动的过程，综合运用牛顿定律和动能定理进行解题．