Question

15．一均匀球体以角速度ω绕自己的对称轴自转，若维持球体不被瓦解的唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是多少？

Answer 1

分析 球体表面物体随球体自转做匀速圆周运动，球体有最小密度能维持该球体的稳定，不致因自转而瓦解的条件是表面的物体受到的球体的万有引力恰好提供向心力，物体的向心力用周期表示等于万有引力，再结合球体的体积公式、密度公式即可求出球体的最小密度．

解答 解：设位于赤道处的小物块的质量为m，物体受到的球体的万有引力恰好提供向心力，
这时球体不瓦解且有最小密度，
由万有引力定律结合牛顿第二定律得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{ω}^{2}R$
又$M=ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$
两式联立求解得：$ρ=\frac{3{ω}^{2}}{4πG}$
答：此球的最小密度为$\frac{3{ω}^{2}}{4πG}$．

点评 该题考查了万有引力公式及向心力基本公式的直接应用，难度不大，属于基础题