Question

2．绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.25kg，绳长L=40cm，g=10m/s²求：
（1）若想水不流出，在最高点时桶的速率至少为多少？
（2）若桶在最高点速率v₂=4m/s时，水对桶底的压力为多少？

Answer 1

分析 （1）水桶运动到最高点时，水不流出恰好不流出时，由水的重力刚好提供其做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律求解最小速率；
（2）水在最高点速率v=4m/s时，以水为研究对象，分析受力情况：重力和桶底的弹力，其合力提供水做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律求解此弹力，再牛顿第三定律，求出水对桶的压力大小和方向．

解答 解：（1）水桶运动到最高点时，设速度为v时恰好水不流出，由水的重力刚好提供其做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$
解得：v=$\sqrt{gl}=\sqrt{10×0.4}=2m/s$
（2）对水研究，在最高点时由水的重力和桶底的弹力的合力提供水做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得：
mg+N=m$\frac{{v′}^{2}}{l}$
则得：N=m（$\frac{{v′}^{2}}{l}$-g）=0.25×（$\frac{16}{0.4}$-10）N=7.5N
由牛顿第三定律得水对桶底的压力为：N′=N=7.5N．
答：（1）最高点水不流出的最小速率为2m/s；
（2）水在最高点速率v=4m/s时，水对桶底的压力为7.5N．

点评 本题应用牛顿第二定律破解水流星节目成功的奥秘，关键在于分析受力情况，确定向心力的来源．