Question

8．如图甲所示，空间存在一范围足够大、方向垂直于竖直xoy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B．让质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子从坐标原点O沿xoy平面人射，不计粒子重力，重力加速度为g

（1）若该粒子沿y轴负方向人射后，恰好能经过x轴上的A（a，0）点，求粒子速度的大小．
（2）若该粒子以速度v沿y轴负方向人射的同时，一不带电的小球从x轴上方某一点平行于x轴向右抛出．二者经过时间t=$\frac{5πm}{6qB}$恰好相遇，求小球抛出点的纵坐标．
（3）如图乙所，在此空间再加人沿y轴负方向、大小为E的匀强电场，让该粒子改为从O点静止释放，研究表明：粒子在xoy平面内将做周期性运动，其周期T=$\frac{2πm}{qB}$，且在任一时刻，粒子速度的x分量v_x与其所在位置的y坐标绝对值的关系为v_x=$\frac{qB}{m}y$．若在粒子释放的同时，另有一不带电的小球从x轴上方某一点平行于x轴向右抛出，二者经过时间t=$\frac{3πm}{qB}$恰好相遇，求小球拋出点的纵坐标（结果m、q、B、E、g、v、a、π用表示）

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系求出轨迹半径，根据洛伦兹力提供向心力列式，求得粒子速度的大小．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 T=$\frac{2πm}{qB}$，根据相遇时间t=$\frac{5πm}{6qB}$=$\frac{5}{12}$T，得到在这段时间内粒子转动的圆心角，从而由几何关系求解出相遇点的纵坐标绝对值，即可求解．
（3）相遇时间t=$\frac{3πm}{qB}$=$\frac{3}{2}$T，由对称性可知相遇点在第二个周期运动的最低点，由动能定理求得相遇时水平速度v_x．结合题意v_x=$\frac{qB}{m}y$，得到y的值，即可求解．

解答 解：（1）由题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 r₁=$\frac{a}{2}$
由洛伦兹力提供向心力，有 qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$
解得 v₀=$\frac{qBa}{2m}$
（2）由洛伦兹力提供向心力，有 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$
可得 r₂=$\frac{mv}{qB}$
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 T=$\frac{2πm}{qB}$，则相遇时间为 t=$\frac{5πm}{6qB}$=$\frac{5}{12}$T
在这段时间内粒子转动的圆心角为 θ=$\frac{5}{12}×$360°=150°
如图3所示，相遇点的纵坐标绝对值为 r₂sin30°=$\frac{mv}{2qB}$
小球抛出点的纵坐标为 y=$\frac{1}{2}g（\frac{5πm}{6qB}）^{2}$-$\frac{mv}{2qB}$
（3）相遇时间t=$\frac{3πm}{qB}$=$\frac{3}{2}$T，由对称性可知相遇点在第二个周期运动的最低点
设粒子运动到最低点时，离x轴的距离为y_m，水平速度为v_x．
根据动能定理有 qEy_m=$\frac{1}{2}m{v}_{x}^{2}$
由题意有 v_x=$\frac{qB}{m}y$．
联立解得 y_m=$\frac{2mE}{q{B}^{2}}$
故小球抛出点的纵坐标为 y=$\frac{1}{2}g（\frac{3πm}{qB}）^{2}$-$\frac{2mE}{q{B}^{2}}$
答：
（1）粒子速度的大小为$\frac{qBa}{2m}$．
（2）小球抛出点的纵坐标为$\frac{1}{2}g（\frac{5πm}{6qB}）^{2}$-$\frac{mv}{2qB}$
（3）小球抛出点的纵坐标为$\frac{1}{2}g（\frac{3πm}{qB}）^{2}$-$\frac{2mE}{q{B}^{2}}$．

点评 本题考查了带电粒子在复合场中的运动，过程较复杂，关键理清粒子的运动轨迹，结合动能定理、洛伦兹力和电场力知识进行解决．粒子在磁场中运动时，关键要根据时间与周期的关系确定圆心角．