Question

2．相距为d、质量分别为2m和m的两颗恒星A和B组成双星系统，在万有引力作用下各自绕它们连线上的某一固定点，在同一平面内做匀速圆周运动．设两颗恒星的转动半径分别为R_A、R_B，速度大小分别为v_A、v_B，动能分别为E_kA、E_kB，引力常量为G，则下列关系中正确的是（　　）

• A． R_A=2R_B
• B． v_A=2v_B
• C． E_kA=E_kB
• D． E_kA+E_kB=$\frac{G{m}^{2}}{d}$

Answer 1

分析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，根据万有引力等于向心力列式分析即可．

解答 解：A、对A、B星，都是万有引力提供向心力，故：
$G\frac{2m•m}{d^2}=2m•{ω^2}{R_A}$
$G\frac{2m•m}{d^2}=m•{ω^2}{R_B}$
其中：d=R_A+R_B
联立解得：
R_A=$\frac{1}{3}d$
R_B=$\frac{2}{3}d$
$ω=\sqrt{\frac{3Gm}{d^3}}$
故R_A=$\frac{1}{2}$R_B，故A错误；
B、角速度相等，故：$\frac{v_A}{v_B}=\frac{{{R_A}ω}}{{{R_B}ω}}=\frac{1}{2}$，故B错误；
C、根据${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，有：$\frac{{{E_{kA}}}}{{{E_{kB}}}}=\frac{{\frac{1}{2}（2m）{v_A}^2}}{{\frac{1}{2}m{v_B}^2}}=2{（\frac{{{v_A}^{\;}}}{{{v_B}^{\;}}}）^2}=2×{（\frac{1}{2}）^2}=\frac{1}{2}$，故C错误；
D、由A的分析，有：$ω=\sqrt{\frac{3Gm}{d^3}}$；故${E_{kA}}+{E_{kB}}=\frac{1}{2}（2m）{（ω\frac{d}{3}）^2}+\frac{1}{2}m{（ω\frac{2d}{3}）^2}=\frac{{G{m^2}}}{d}$，故D正确；
故选：D

点评 解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及会用万有引力提供向心力进行求解．