现代科学仪器常利用电场.磁场控制带电粒子的运动.真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场.电场与磁场的宽度均为d.电场强度为E.方向水平向右,磁感应强度为B.方向垂直纸面向里．电场.磁场的边界互相平行且与电场方向垂直．一个质量为m.电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放.粒子始终在电场.磁场中运动.不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动，真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度均为d，电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里．电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直．一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射．

（1）求粒子在第2层磁场中运动时速度v₂的大小与轨迹半径r₂；
（2）粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θ_n，试求sinθ_n；
（3）若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入第n层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之．

分析（1）粒子在混合场中加速，由动能定理可求得进入第2层时的速度；再由洛仑兹力充当向心力可求得半径；
（2）根据电场力做功可明确速渡，再根据洛仑兹力充当向心力找出第n层中的半径关系，由数学规律可得出通项式，即可求出sinθ_n；
（3）根据题意进行假设，通过讨论明确增大比荷能否使粒子飞出右侧磁场．

解答解：（1）粒子在进入第2层磁场时，经过两次加速，中间穿过磁场时洛仑兹力不做功；由动能定理可得：
2qEd=$\frac{1}{2}$mv₂²
解得：v₂=2$\sqrt{\frac{qEd}{m}}$；
粒子在第2层磁场中受到的洛仑兹力充当向心力，有：
qv₂B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$
解得：r₂=$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{mEd}{q}}$；
（2）设粒子在第n层磁场中运动的速度为v_n，轨迹半径为r_n；
则有：
nqEd=$\frac{1}{2}$mv_n²
qv_nB=m$\frac{{v}_{n}^{2}}{{r}_{n}}$；
粒子进入第n层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为α_n，从第n层磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为θ_n，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，有：
v_n-1sinθ_n-1=v_nsinα_n
如图所示：
r_nsinθ_n-r_nsinα_n=d；
由以上三式可得：
r_nsinθ_n-r_n-1sinθ_n-1=d；
则可知，r₁sinθ₁、r₂sinθ₂、r₃sinθ₃、…r_nsinθ_n为一组等差数列，公差为d，可得：
r_nsinθ_n=r₁sinθ₁+（n-1）d；
当n=1时，由图2可知：
r₁sinθ₁=d
则可得：
sinθ_n=B$\sqrt{\frac{nqd}{2mE}}$
（3）若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，则有：
θ_n=$\frac{π}{2}$
sinθ_n=1；
在其他条件不变的情况下，换用比荷更大的粒子，设其比荷为$\frac{q′}{m′}$，假设能穿出第n层磁场右侧边界，粒子穿出时速度方向与水平方向的夹角为θ_n′．由于$\frac{q′}{m′}$＞$\frac{q}{m}$，则导致
sinθ_n′＞1
设明θn′不存在，即假设不成立，所以比荷较该粒子大的粒子不能穿出该层磁场右侧边界．
答：（1）粒子在第2层磁场中运动时速度v₂的大小为2$\sqrt{\frac{qEd}{m}}$；轨迹半径r₂为$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{mEd}{q}}$
（2）粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θ_n，sinθ_n为B$\sqrt{\frac{nqd}{2mE}}$
（3）比荷较大的粒子不能飞出右侧边界．

点评本题考查带电粒子在磁场中的运动，属于高考的压轴题，要求学生能正确分析物理过程，并能灵活应用物理学中相应的规律；同时还要注意掌握数学知识在物理学中的应用；该类问题的难度较大，对学生综合能力要求极高．

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